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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ロピタルの定理は、以下の条件が成立するとき、
(a) lim[x→c] f(x)=lim[x→c] g(x)=0または±∞
(b) f(x), g(x)がx=cで微分可能
(c) lim[x→c] f'(x)/g'(x)が収束する
lim[x→c] f(x)/g(x)=lim[x→c] f'(x)/g'(x)となる定理。
f'(x), g'(x)に対して、上記3つの条件が成立するのであれば、
lim[x→c] f'(x)/g'(x)=lim[x→c] f''(x)/g''(x)
も成立する。
(1), (2)とも2階微分で収束するので、
(1)はf(x)=e^(-x) - 1 + x, g(x)=x^2とすると、
lim[x→0] f(x)/g(x)=lim[x→0] f''(x)/g''(x)
=lim[x→0] e^(-x)/2
=1/2
(2)はf(x)=1-cos(x/2), g(x)=x^2とすると、
lim[x→0] f(x)/g(x)=lim[x→0] f''(x)/g''(x)
=lim[x→0] ((1/4)cos(x/2))/2
=1/8
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