P が可換環 R の素イデアルならば, √P = P になることを示せ. ただし, √P = {a

P が可換環 R の素イデアルならば, √P = P になることを示せ. ただし, √P = {a ∈ R | ∃m ∈ N; a^m∈ P} である.
どなたか証明をお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/12/07 11:01

N=(全自然数の集合)

Rを可換環
PをRの素イデアルとする
a,b∈R,ab∈Pの時,a∈Pまたはb∈P
が成り立つ時Pを素イデアルという
√P={a∈R|∃m∈N;a^m∈P}

a∈Pとすると
a∈R
∃1∈N;a^1=a∈P
だから
a∈√P
だから
「a∈P→a∈√P」が成り立つから
P⊂√P

a∈√P
とすると
a^m∈Pとなる自然数mがある

Q(n)=[a^n∈P→a∈P]
とする
Q(1)=[a=a^1∈P→a∈P]は真
ある自然数nに対して
Q(n)は真と仮定すると
a^n∈P→a∈Pが成り立つ
a^(n+1)∈Pとすると
aa^n=a^(n+1)∈P
Pは素イデアルだから
a∈Pまたはa^n∈P
a^n∈P→a∈Pが成り立つから
a∈Pが成り立つから
Q(n+1)=[a^(n+1)∈P→a∈P]も真
となるから
全ての自然数nに対して
a^n∈P→a∈Pが成り立つから

a^m∈Pから
a∈Pが成り立つから
「a∈√P→a∈P」が成り立つから
√P⊂P
↓これとP⊂√Pから
∴
√P=P