スカラー場の勾配に回転がない理由と、ベクトルの回転には発散がない理由を教えて下さい。 宜しく御願いし

スカラー場の勾配に回転がない理由と、ベクトルの回転には発散がない理由を教えて下さい。

宜しく御願いします。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/12/15 08:39

総和規定と交代記号 e_{ijk}を使うと簡単なので

∇x(∇・φ）: e_{ijk}d_j d_k φ =
1/2(e_{ijk}d_j d_k φ + e_{ijk}d_k d_j φ)=
1/2(e_{ijk}d_j d_k φ + e_{ikj}d_j d_k φ)=
1/2(e_{ijk} - e_{ijk}) d_j d_k φ=0

∇・(∇xψ)：d_i e_{ijk}d_j ψ_k
これも d_i, d_j の交換と交代記号の性質からゼロ。