次の数列の母関数を求めよ (1)1, -2, 3, -4, 5, -6, ... (2)1, 2/3

次の数列の母関数を求めよ
(1)1, -2, 3, -4, 5, -6, ...
(2)1, 2/3, 3/9, ... ,(n+1)/3^n, ...
(3)1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ...
という問題がわかりません。わかる方がいたら解説お願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• すみません、...の部分は無限に続く数列という意味です

    補足日時：2020/12/17 00:50

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/17 00:23

まじめな話として「...」の部分がどうなっているかわからんとどうにもならんのだけど.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/17 01:52

「無限に続く」といっても, 「どのような値がどのように続くのか」は書いてないでしょ? 例えば (1) だと -6 のあとどうなるかどこに書いてありますか?

(2) は一般項が書いてあることにしていいけど, それだとしても「定義に突っ込め」で終わっちゃうわけで, どこの「解説」を求めているんだろう.

No.3 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/17 10:06

(1) 1,2,3,4,5,6,…

の母関数は Σ[n=0,∞](n+1)x^n=1/(1-x)^n
であるから、1,-2,3,-4,5,-6,…
の母関数は Σ[n=0,∞](n+1)(-1)^nx^n
= Σ[n=0,∞](n+1)(-x)^n=1/(1+x)^n
(2) 母関数は Σ[n=0,∞]{(n+1)/3^n}x^n
=Σ[n=0,∞](n+1)(x/3)^n
=1/(1-x/3)^n
=9/(3-x)^2
(3)1,0,1,0,1,0,1,0,… の母関数は
Σ[n=0,∞]x^(2n)=1/(1-x^2)
1,1,2,2,3,3,4,4,… は1,2,3,4,5,6,…に1,0,1,0,1,0,1,0,… を加えたものの半分であるから、{Σ[n=0,∞(n+1)x^n+Σ[n=0,∞]x^(2n)}/2
={1/(1-x)^2+1/(1-x^2)}/2
=1/{(1+x)(1-x)^2}

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/17 10:36

今日もせっせと空気読み：

所与の数列が
(1) 第n項が a_n = (n+1)(-1)^n, n=0,1,2,3,...
(2) 第n項が a_n = (n+1)/3^n, n=0,1,2,3,...
(3) 第n項が a_n = [n/2]+1, n=0,1,2,3,...
だとして、
Σ[n=0→∞] (a_n)x^n という式の Σ を解消しろ
って話だよね。

「母関数」にもいろいろバリエーションがあるし、
「求めよ」で Σ をなくせって意味にすることにも
言いたいことはあるのだけれど...

(0)
Σ[n=0→∞] (n+1)z^n
= Σ[n=0→∞] (d/dz) z^(n+1)
= (d/dz) Σ[n=0→∞] z^(n+1)
= (d/dz) z/(1-z)　； 等比級数
= 1/(1-z)^2.

(1)
Σ[n=0→∞] { (n+1)(-1)^n }x^n
= Σ[n=0→∞] (n+1)(-x)^n
= 1/(1+x)^2　； (0)で z = -x とする。

(2)
Σ[n=0→∞] { (n+1)/3^n }x^n
= Σ[n=0→∞] (n+1)(x/3)^n
= 1/(1-x/3)^2　； (0)で z = x/3 とする。
= 9/(3-x)^2

(3)
Σ[n=0→∞] (a_n)x^n
= Σ[k=0→∞] { (a_(2k))x^(2k) + (a_(2k+1))x^(2k+1) }
= Σ[k=0→∞] { (k+1) x^(2k) + (k+1) x^(2k+1) }
= Σ[k=0→∞] (k+1)(1+x)x^(2k)
= (1+x) Σ[k=0→∞] (k+1)(x^2)^k
= (1+x) 1/(1-x^2)^2　； (0)で z = x^2 とする。
= 1/{ (1+x)(1-x)^2 }

No.5 ベストアンサー 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/17 15:36

#2 です。

記載ミスがあり、訂正します。
(1) 1,2,3,4,5,6,…
の母関数は Σ[n=0,∞](n+1)x^n=1/(1-x)^2
であるから、1,-2,3,-4,5,-6,…
の母関数は Σ[n=0,∞](n+1)(-1)^nx^n
= Σ[n=0,∞](n+1)(-x)^n=1/(1+x)^2
(2) 母関数は Σ[n=0,∞]{(n+1)/3^n}x^n
=Σ[n=0,∞](n+1)(x/3)^n
=1/(1-x/3)^2
=9/(3-x)^2
(3)1,0,1,0,1,0,1,0,… の母関数は
Σ[n=0,∞]x^(2n)=1/(1-x^2)
1,1,2,2,3,3,4,4,… は1,2,3,4,5,6,…に1,0,1,0,1,0,1,0,… を加えたものの半分であるから、{Σ[n=0,∞(n+1)x^n+Σ[n=0,∞]x^(2n)}/2
={1/(1-x)^2+1/(1-x^2)}/2
=1/{(1+x)(1-x)^2}