内力が二粒子間の距離のみに依存する場合の内力のポテンシャルの定義と、外力のポテンシャルの定義が一致す

内力が二粒子間の距離のみに依存する場合の内力のポテンシャルの定義と、外力のポテンシャルの定義が一致する事の証明方法を教えて下さい。



24:00辺りで述べられている話です。

質問者からの補足コメント

• 変数が異なるのでUが同じ式になるという事は
  ないですね。。
  この方の意図がわからなくなりました。。

    補足日時：2020/12/17 20:18

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2020/12/19 15:42

たとえば2物体間にばね定数ｋのばねの力が働いてるとき

2物体の運動方程式はｘを自然長ℓからののびとして
ｍ₁dｖ₁/dt＝ｋｘ、ｍ₂dｖ₂/dt＝－ｋｘ　･･･①になる。
このとき
ｘ₂＝ｘ₁＋ℓ＋ｘ　の関係から両辺を時間微分して
ｖ₂＝ｖ₁＋dｘ/dt　･･･②　が出る。
それで
2物体の運動エネルギとばねの位置エネルギの和
1/2ｍ₁ｖ₁²＋1/2ｍ₂ｖ₂²＋1/2ｋｘ²　を時間微分すれば
①②からこれはたしかに0になる。
つまり
2物体の運動エネルギとばねの位置エネルギの和は保存する。
これは1物体に働くばねの力の位置エネルギーが
2物体に働くばねの位置エネルギとしても使える。

ということが言いたいんじゃないの？

ただこの講師は入試にi番よく出るばねについてさえも
このことを数学的にちゃんと示していないのが問題だね。

No.6 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/12/18 10:02

暇だったので、軽く見てみました。

これ、どんな人を対象にした講義ですか？
まあ、Ｎｏ１～Ｎｏ５さんの回答で十分ですね。
これを理解する必要はありません。
なんか「ほとんどの物理の教師は理解できないと思うけれど」
などと言っていますが、そう言うことで、自己顕示欲を満足させているってだけでしょうね。
解析力学などでは、速度などに依存にするポテンシャルが出てくる場合があります。
しかし、一般に力学を扱う場合、ポテンシャルは距離にのみ依存していると考えて議論しますので、
この場面で、こんな事を言い出す事自体が馬鹿げているとしか思えません。
距離以外に依存するポテンシャルがどんな物かなんて全然説明せずに、勝手に突っ走っていますね。

で、ポテンシャル（位置エネルギー）の定義と式は、学校で勉強したものを使えば十分です。扱いも、考えている系にポテンシャルを入れると考えれば、１粒子であろうと、２粒子であろうと同じになります。

この回答へのお礼

高校生を対象した講義だと思います。
ポテンシャルの定義は学校では扱っていないです。

お礼日時：2020/12/19 10:56

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/18 05:36

述べたように、μ=1/(1/m₁+1/m₂)、<r>=<r₁>-<r₂>

を使うと、２体問題の連立微分運動方程式は
(d/dt)(μ<v>)=<f>
となって、いったい問題の式と同じ形になる（当然、エネ
ルギー式も同じになる）。

もし、このことなら、この人は他人に教える以前に、伝える
という力が無いということになる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/19 10:53

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/17 20:23

要するに、わけのわからない話をして、煙に巻いているんですよ。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/17 19:51

>外力の仕事率はf⃗・v⃗で

内力の仕事率はf⃗・(v⃗₂-v⃗₁)なので異なっているが<

どう一致するというのでしょうか？　一致する式を述べて下さい。
これが不明確なので何の話か不明。

この回答へのお礼

Uが同じ式になるという事ではないのでしょうか？
基準点による定数の不定性はあるかもしれませんが。

お礼日時：2020/12/17 20:11

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/17 18:19

一物体の内力というのは変でした。

２物体の時は外力がないとき。

この回答へのお礼

外力の仕事率はf⃗・v⃗で
内力の仕事率はf⃗・(v⃗₂-v⃗₁)なので異なっているが、
これらの仕事率による位置エネルギーが
一致する事が証明出来るというという話
だと思うのですが、どうでしょうか？

お礼日時：2020/12/17 19:21

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/17 17:23

何を言いたいか不明確な話である。

下記のように推測したが、
大学レベルも超えている。

dU/dt=-<f>・<v> がUの定義というのは正確ではないが、
さらに難しいので無視する(これはUが存在したときの満たす
べき関係)。

一物体系の運動方程式は
(d/dt)(m<v>)=<f(r)> , r=|r| , <v>=d<r>/dt・・・・①

２物体系の運動方程式は
(d/dt)(m₁<v₁>)=<f> , (d/dt)(m₂v₂)=-<f>
→ (d/dt)<v₁>=<f>/m₁ , (d/dt)<v₂>=-<f>/m₂
→ (d/dt)(<v₁>-<v₂>)=<f>/m₁+<f>/m₂=(1/m₁+1/m₂)<f>

ここで、μ=1/(1/m₁+1/m₂) , <r>=<r₁>-<r₂>
, r=|<r₁>-<r₂>| , <v>=d(<r₁>-<r₂>)/dt とおくと
(d/dt)(μ<v>)=<f>
となる。ここで、fが r=|r₁-r₂| の関数であれば rについて、①と
同じ形の式なので、同様にポテンシャルが定義できる。

・・・というようなことかと推定。


>内力が二粒子間の距離のみに依存する場合の内力のポテンシャルの定義と、外力のポテンシャルの定義が一致する<
●よく見ていないがこのようなことは言っていない。１，２物体系
とも外力がない場合の話と思う。

また、「二粒子間の距離のみに依存する」というのも不正確。
正確には 力の方向は <r₁>-<r₂> となることも必要。