二次関数のグラフの移動の問題です。 y＝ax²+bx+cの放物線がある。 これを、x軸方向に3、y軸

二次関数のグラフの移動の問題です。

y＝ax²+bx+cの放物線がある。
これを、x軸方向に3、y軸方向に−1だけ平行移動すると
y＝5x²−11x+13に移される。
もとの放物線の方程式を求めよ。

という問題で答えを見ながらやってみても
いまいちよくわかりません…。

解答2行目の（x−11/10)²の −11/10というのは
1行目の+13の前の−11/10がそのまま来ているのですか？

だとしたら−11/5はどこへ行ったんですか？

y ＝5x²−11x+13のxが奇数の場合の平方完成の仕方がよくわかりません。

簡単にできる方法あれば教えてください！

お願いします！

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/12/17 23:30

x²の係数が1でないときや、xの係数が奇数のときは平方完成はややこしいですね。

(x+a)²=x²+2ax+a²　が基本です。
xの係数と定数を比べてください。xの係数は2a、定数はa²です。xの係数を半分にしたものを2乗したのが定数になっていることがわかります。2aの半分はa、aを2乗するとa²になります。
x²-11/5x　を平方完成の式にすると、xの係数-11/5を半分して-11/10、これを2乗すると(-11/10)²＝(11/10)²
x²-11/5x+(11/10)²＝(x-11/10)²になります。しかし、これだと(11/10)²が多くなってしまうので、(11/10)²を引いて調子を合わせて（等号を成り立たせて）あげます。
x²-11/5x=x²-11/5x+(11/10)²-(11/10)²
　　　　　　=(x-11/10)²-(11/10)²
　　　　　　=(x-11/10)²-121/100

もうややこしいと思われるのなら、
ax²+bx+c=a(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a
の基本形の式を丸覚えしてしまうのもありです。
a=5,b=-11,c=13をそれぞれにあてはめて、
b/2a=-11/(2×5)=-11/10
-(b²-4ac)/4a=-{(-11)²-4×5×13}/(4×5)=-(121-260)/20=-(-139/20)=139/20
5x²-11x+13=5(x-11/10)²+139/20

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/18 10:15

x-y 平面上（小文字です）のもともとの二次関数を

　y = ax^2 + bx + c　　　①
として、これを「形をそのままに平行移動」した二次関数は、座標の原点を平行移動した「X-Y 平面」（大文字です）で
　Y = aX^2 + bX + c　　　②
とかけるはずですね。

このときの x と X、y と Y の関係を考えてみればよいのです。
(x, y) を「x 軸方向に 3、y 軸方向に -1」だけ移動させたのが (X, Y) ですから、「X-Y 平面上の X 座標は x-y 平面上の x 座標より 3 だけ小さく、X-Y 平面上の Y 座標は x-y 平面上の y 座標より 1 だけ大きくなる」ことになります。
（ここを間違いやすいので、よく考えてね！　「曲線を移動する」のではなく「原点を移動する」と考えているからです）

つまり、
　X = x - 3
　Y = y + 1
という関係です。
これを②に代入すれば。「x-y 座標で表した、新しい曲線の式」が得られます。

やってみれば
　y + 1 = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + c
→　y = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + c - 1
　　　= ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + c - 1
　　　= ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + c - 1)

これが
　y = 5x^2 - 11x + 13
になるということは
　a = 5　　　　　　　　　③
　-6a + b = -11　　　　　　④
　9a - 3b + c - 1 = 13　　　⑤
ということです。

③を④に代入して
　-30 + b = -11
→　b = 19
これを⑤に代入して
　45 - 57 + c - 1 = 13
→　c = 26

よってもとの放物線の方程式は
　y = 5x^2 + 19x + 26

上に書いたように、グラフを (a, b) だけ移動するということは、原点を (-a, -b) だけ移動するということなので、機械的に処理できますよ。
平方完成よりもその方が分かりやすいと思います。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/18 11:13

ax²+bx+c を平方完成すると、

a{x²+(b/a)x}+c=a{x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²}+c
=a{x+(b/2a)}²-(b²/4a)+c ですね。
従って、b/2a が 11/10 となります。

画像の考え方は 頂点を求めてから 移動してますが、
NO2 さんの回答のように x, y そのものを
移動させた方が 分かり易く 間違いも少なくなるように思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/18 14:10

ＮＯ3 です、後半分を補足します。

x 軸方向に 3, y 軸方向に -1 平行移動して
y=5x²-11x+13 になるのですから、
元に式は 逆に x 軸方向に -3, y 軸方向に 1
平行移動すれば良いです。
その為には x に (x+3), y に (y-1) を代入します。
（+、－ に 気を付けて下さい。）
y-1=5(x+3)²-11(x+3)+13
y=5x²+30x+45-11x-33+13+1
y=5x²+19x+26 。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/18 20:37

No.2に1票。

写真に「逆に考えると…だね。」と書いてある通りを素直にやれば良いだけなのに、はてはて、何で平方完成なんか持ち出したんだろね。