∫1/(x^4+1)dx

↑の不定積分が解けません。
t=tanx と変数変換をしたら解けるかと思ったのですが、うまくいきません(僕の計算ミスかもしれませんが・・・)
誰かわかる方、教えて下さい。

A 回答 (1件)

有理関数の積分です。


分母は次のように因数分解できます。
(x^2-√2・x+1)(x^+√2・x+1)

再度チャレンジして下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
教えてもらったとおり因数分解をしたら解けました。

お礼日時:2001/08/19 23:24

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∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx

この式変形がわからないのですが。ご教授ください。

Aベストアンサー

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2

(積分定数は省略しています)

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方...続きを読む

Q教えてください。不定積分 ∫(e^x /x^3)dx

教科書で問題を解いてるときに 
∫(e^x /x^5)dx
という積分が出てきました。1日考えてみて置換積分を試したりしてもも糸口すら見つかりません。
出来るなら解答までの計算式も含めて、どうかよろしくお願いします。

一応ですが、元の問題は (x^2)y''-5xy'+8y=e^x  です。
もしこの積分が必要ない時には問題の1歩目から間違ってる事になるのでご指摘お願いします。

Aベストアンサー

ANo.2さんの回答が「内容確認中」なので重複しているかもしれません。

途中で∫(e^x /x^5) dx は出てきます。∫(e^x /x^5) dx は部分積分法を使って、∫(e^x /x) dx を含む形に変形できますが、∫(e^x /x) dx は初等関数で表わすことはできません。

問題の解は、指数積分関数 Ei(n,x) を使うと
   y = -(1/48)*( x - 3 )* ( x^2 + 4*x + 2 )*exp(x) - (1/48)*x^2*[ { Ei(1,-x) - 48*C1 }*x^2 - 12*Ei(1,-x) - 48*C2 ] ]
となります。指数積分関数は
   Ei(n,x) = ∫[t = 1~∞] exp(-x*t)/t^n dt
で定義されますが、解の中に含まれるのは n = 1 場合の関数
   Ei(1,-x) = ∫[t = 1~∞] exp(x*t)/t dt
です。

(解法)
元の微分方程式の両辺を x^2 で割ると
  y'' - 5*y'/x + 8*y/x^2 = exp(x)/x^2
となるので、z = y/x^2 おくと z(x) に関する微分方程式
   z'' - z'/x = exp(x)/x^4
となります。さらに p = z' とおけば、p(x) に関する1階の微分方程式
   p' - p/x = exp(x)/x^4
になります。この解は
   p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
問題の積分 ∫exp(x)/x^5 dx は部分積分を繰り返せば
   ∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
    p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
したがって
   z = ∫p dx = -(1/24)*∫exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) dx + (1/24)*∬exp(x)/x dx + C1*(x^2/2) + C2
最終的には
   y = x^2*z
から y を計算しますが、以下の性質を使えば Ei(1,-x) で表わすことができます。
   ∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^2 dx = -exp(x)/x - Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^3 dx = -(1/2)*exp(x)/x^2 - (1/2)*exp(x)/x - (1/2)*Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^4 dx = -(1/3)*exp(x)/x^3 -(1/6)*exp(x)/x^2 -(1/6)*exp(x)/x - (1/6)*Ei(1,-x)
   ∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)

ANo.2さんの回答が「内容確認中」なので重複しているかもしれません。

途中で∫(e^x /x^5) dx は出てきます。∫(e^x /x^5) dx は部分積分法を使って、∫(e^x /x) dx を含む形に変形できますが、∫(e^x /x) dx は初等関数で表わすことはできません。

問題の解は、指数積分関数 Ei(n,x) を使うと
   y = -(1/48)*( x - 3 )* ( x^2 + 4*x + 2 )*exp(x) - (1/48)*x^2*[ { Ei(1,-x) - 48*C1 }*x^2 - 12*Ei(1,-x) - 48*C2 ] ]
となります。指数積分関数は
   Ei(n,x) = ∫[t = 1~∞] exp(-x*t)/t^n dt
で定...続きを読む

Q∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

本には
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という、xが1次の場合の不定積分の公式は載っています。具体的には
∫(2x + 1)^2 dx
= {(2x + 1)^3} / {2(3)} + C
みたいなのですね。

ただ、
∫(ax^n + b)^α dx
のように、xの次数が高い場合は載っていません。
ネットで検索しても見つかりません。
∫(2x^2 + 1)^2 dxなら展開してから不定積分を行えば良いのですが、
∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
のような、もっとややこしい場合は展開もできません。
そのような場合はどうやって計算するのですか?

勘で
∫(ax^n + b)^α dx
= {(ax^n + b)^(α+1)} / {ax^(n-1)(α+1)} + C
と思ったのですが、違いますか?
では、お願いします。

Aベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問について
>因みに、この(-1/2)は、たまたま(a^2 - x^2)' = -2xだったので
>それをxにするための単なる辻褄合わせですか?

その通りです。積分と微分は表裏の関係ですから、この位のことは見抜かないといけませんね。

>それとも、(a^2 - x^2)^(1/2)のべき乗の部分から1を引いた(1/2 - 1)ですか?
違います。

公式
∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
ここで ∫f(x)dx=F(x)+C'とします。
A#2はこの公式を使えるように少しお膳立てしただけです。
他の例をあげると
f(x)=sin(x),g(x)=x^3とすればg'(x)=3x^2なので
∫(x^2)sin(x^3)dx=(-1/3)cos(x^3)+C
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∫(2x^2e^-x^2)dxの積分が分かりません。
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>最初のxが三乗でした!
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これなら簡単。不定積分も計算可能。
t=x^2として置換積分しましょう。
dt=2xdx
であるため
∫x^3*e^(-x^2)dx=∫(1/2)x^2*e^(-x^2)*2xdx=∫(1/2)t*e^(-t)dt
となります。これは部分積分できると思います。
最後にt=x^2でおきかえることをお忘れなく。

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In=∫(x^n)*(log(x)) dx
とおけば
とおいたときに
In =x^{n+1}log(x) - x^{n+1} - n In + (1/(n+1))x^{n+1}
という形になりますが,右辺と左辺のInは実は同じものではないので
この形は厳密には間違いなんですが,その違いは定数分しかないので
結局
In = (1/(n+1)) x^{n+1}log(x) - (1/(n+1)^2)x^{n+1} + C
です.


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