2a³ + 3a² - 5 = 0 の因数分解の仕方を教えてください。 ･2a³ + 3a² - 5

2a³ + 3a² - 5 = 0 の因数分解の仕方を教えてください。

･2a³ + 3a² - 5 = 0
を因数分解すると、
･(a - 1)(2a² + 5a + 5) = 0
･a=1
になるそうなのですが、どのように計算したのですか？どなたかご回答よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 皆さん回答ありがとうございます！！
  そう言えば因数定理やった事あるな、、と思いました。基礎的な所かもしれませんが忘れてしまっていたのでありがたいです。
  
  追記で質問よろしいでしょうか。
  3次式で、因数定理を使ってもこれ以上分解できない事もありますよね、、？
  例えば2a³ｰ2a+2など…！
  また、2次式では判別式Dを使ってDが＜0かどうかにより、それ以上分解できるかが分かりました。
  3次式にも同じように判別できる公式、方法があるのでしょうか？

    補足日時：2021/01/17 16:39

• 皆様回答ありがとうございます！！
  そう言えば因数定理、やった事あるな…って思い出しました！基礎的な所かもしれませんが忘れてしまっていたのでとても有難いです。
  
  追記で質問よろしいでしょうか？
  3次式で、因数定理を使ってもこれ以上分解できない時もありますよね、、？例えば2a³−2a+2など。
  
  また、2次式では判別式Dを使って、Dが＜0かどうかによりそれ以上分解できるかどうかを見分けることが出来ました。
  3次式でもこのようにそれ以上分解できるかどうかを見分けられる公式、方法はあるのでしょうか？

    補足日時：2021/01/17 16:44

• あっっっ、、間違えて2つ同じ内容の補足をしてしまいました、すみません…！汗汗

    補足日時：2021/01/17 16:45

• 皆様ありがとうこざいました！！！！とても分かりやすかったです、、、！！！！本当にありがとうございました！

    補足日時：2021/01/18 18:44

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2021/01/17 10:35

左辺に a=1 を代入すると、

左辺=0になるので、
因数定理より、a-1 が 左辺の因数の
1つとわかります。
あとは、多項式の割り算（組立除法など）
をすればOKです。

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2021/01/17 10:41

【補足】

f(a) = 2a² + 5a + 5 のほうは、
f(a)=0の判別式 D は
D = 5^2-4・2・5 = -15 < 0 なので、
f(a)=0 は実数解を持ちません。
したがって、これ以上因数分解できません。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/17 10:43

試しにa=1を代入すると、

2×1^2 + 3×1^2 - 5=2+3-5=0

になる。
つまり、2a^3 + 3a^2 - 5は因数定理よりa-1で割り切れる。
よって、

(a-1)(2a^2 + 5a + 5)=0

となる。
2a^2 + 5a + 5=0とすると、判別式は、

5^2 - 4×2×5=25-40=-15

で実数解を持たないため、a-1=0⇔a=1が答えになる。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/17 11:28

3次式の因数分解は ±1, ±2 位を代入して、

式の値が 0 のなるものを探します。
2a³+3a²-5 は a=1 を代入すると 式の値が 0 になるので、
(a-1) と云う因子があることが分かります。
で、(a-1) の共通因子が出るように 式を変形します。
2a³+3a²-5=2a³-2a²+2a²+3a²-5a+5a-5
=(2a³-2a²)+(5a²-5a)+(5a-5)=2a²(a-1)+5a(a-1)+5(a-1)
=(a-1)(2a²+5a+5) 。

従って 2a³+3a²-5=0 は a-1=0 又は 2a²+5a+5=0 となります。
2a²+5a+5=0 は 判別式が 25-40<0 で 実数解を持たないので、
a-1=0 つまり a=1 だけが 答えになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます………！！！
3次式の因数分解を忘れてしまっていたのでとても有難いです…！！！
確認なのですが、3次式の因数分解は必ず±1か2くらいで大丈夫ですか？？？11とかの数字になる可能性もありますか？？
無知野郎でごめんなさい、、、

お礼日時：2021/01/17 11:33

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/17 11:30

因数定理：関数f(x)でf(a)=0なら、f(x)は(x-a)で割り切れる。

数Ⅰの学習レベル

No.6 回答者： spookyaction 回答日時： 2021/01/17 12:02

3a²を -2a² + 5a²で置き換えて、

2a³ + 3a² - 5
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5
= 2a²(a-1) + 5(a²-1)
= 2a²(a-1) + 5(a-1)(a+1)
= (a-1)(2a² + 5(a+1))
= (a-1)(2a² + 5a+5)

No.7 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/17 12:46

高次式の因数分解は、因数定理利用というのが高校の教科書に書かれているはずです

で、因数定理を利用する際しっておくと便利なのは次のことです
f(a)=2a³ + 3a² - 5 とおいて
まずは、この式の右辺を０にするようなaの値を探しに行くわけですが
闇雲に探してはいけません！
aに代入する候補は（必然的に）
±（定数項の約数/a³の係数の約数）
となるのです（理由はテキストを確認）

よって　今回代入する候補は
±(2の約数/5の約数)
＝1/1,2/1,1/5,2/5 または-1/1,-2/1,-1/5,-2/5
で
左から順番に代入して確認です
aに1/1=1を代入で
f(1)=2・1³+3・1²-5=0
運よく、一発目で見つかりました！
このことから、2a³ + 3a² - 5 = 0となるa=1であることが分かったので
この3次方程式の解の一つはa=1(3次方程式なんで　解は１もふくめて全部で3つある可能性があります）
と分かります
これを利用して解の１つがa=1であるなら、因数の１つは(a-1)（←←←因数定理）であるので
2a³+3a²-5＝(a-1)x(○○)と因数分解できることが分かるのです
（〇〇）部分の求め方は知っていますよね・・・(2a³+3a²-5)÷(a-1)を計算すればよいのです（その際「組み立て除法」を知っていると省エネで求まります）

こんかいはa=1が解なんで　上に書いた　「解の候補」の知識が無くても誰にでも因数分解が可能です

ただし、もし　f(a)に代入すべき値がa=-2/5となるような式を因数分解するケースではどうですか？　おそらく闇雲にやっていたのでは　a=-2/5は見つけられないことでしょう・・・
なんで、　解の候補の検討のつけ桁を覚えておきたいところです！！

この回答へのお礼

因数定理ほんとにめちゃくちゃ大事ででも忘れてしまっていて、また思い出せたのでほんとに感謝します！！！！！！！！お陰様でもう忘れないと思います！！！ベスアにさせていただきます✨✨

お礼日時：2021/01/18 18:48

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/17 13:13

あ、ごめんなさい

#7訂正
この問題の解の候補は

±(5の約数/2の約数)
→→→1/1(=1)、1/2,5/1=(5),5/2
または
-1/1(=-1)、-1/2,-5/1=(-5),-5/2
ですね

ということは　+2や-2などを代入して確認なんて言うのは、やってもはなから意味がないということになるのです・・・

この問題のようにa=1が簡単に見つかるケースでは　この解の候補の知識が無くても因数分解可能ですが
a=5/2を見つけなければいけない場合とか、
a=11を見つけないといけない式のばあいなら
闇雲に（感で）aの値を探るというのは愚策だということが分かるはずです・・・

No.9 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/17 13:20

＞3次式の因数分解は必ず±1か2くらいで大丈夫ですか？？？11とかの数字になる可能性もありますか？？

必ず 出来ると云う訳ではありません。
でも、今あなたが学習している段階では、
その位で 因数が見つかる場合が多いと云う事です。
もっと高度な問題では、NO7 さんの回答にある様な
「因数定理」を使う事になります。

No.10 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/17 17:55

>3次式にも同じように判別できる公式、方法があるのでしょうか？

3次方程式にも判別式、解の公式ともあるにはある。
ただし、2次方程式よりずっと複雑で、実用に耐えない。
（判別式はともかく、解の公式は虚数単位がでてくる）
興味があるなら「カルダノの公式」で検索してみて。

この回答へのお礼

カルダノの公式ありがとうございます！！！
調べて見てみました！！！！数学の楽しい知識が増えました(T_T)✨✨

お礼日時：2021/01/18 18:45