数学?算数? の質問です。分数の掛け算の原理を教えてください。 例えば、3/4×5/8 では、分母同

数学?算数? の質問です。分数の掛け算の原理を教えてください。

例えば、3/4×5/8 では、分母同士 分子同士 を掛け合わせ、15/32 になるとお思います。小学生の頃 ひたすらこの計算をやらされましたが、よく考えればどのような原理の上でこの計算が成り立つのでしょうか？
また、割り算では、割る方の分数を逆数にした上で掛けますよね？その原理も分かりません。例えば、3/4÷5/8＝3/4×8/5 のように。

分数の掛け算にて、分母同士 分子同士 をそのまま掛け合わせるのはなぜなのか。また、分数の割り算にて、割る方の分数が逆数にした上で掛けるのはなぜなのか。くだらない疑問かもしれませんが、よろしくお願いします。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2021/02/08 14:20

例えば、a/b×c/d では、通分して

ad/bd×cb/bd =adx1/bdxcbx1/bd 　かけ算は交換則で
adxcbx1/bdx1/bd=abcdx(1/bd)²＝abcdx1/bbdd=ac/bd
a/b×c/d=ac/bd となります。

割り算では、
a/b÷c/d＝(a/b)/(c/d)　分母分子にbdを掛けて
(ad)/(cb)=ad/cb=a/bxd/c とc/dを逆にしてかけ算となります。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/02/08 13:07

以下は『数の論理』(講談社ブルーバックス)と言う本に載っている分数同士のかけ算についての説明です(一部編集)。

整数k、l、m、nを考え、数式

(k/m)×m=k…①

(l/n)×n=l…②

を考えます。まず①と②をかけると

k×l={(k/m)×m}×{(l/n)×n}

乗法の交換法則並びに結合法則より

{(k/m)×m}×{(l/n)×n}

=(k/m)×m×(l/n)×n

=(k/m)×(l/n)×m×n

={(k/m)×(l/n)}×{m×n}

=k×l

両辺に1/(m×n)をかけると

(k/m)×(l/n)=(k×l)/(m×n)

No.3 回答者： 宇宙少年ソラン 回答日時： 2021/02/07 21:26

例えば

1/2ｘ1/2＝0.5ｘ0.5＝0.25＝1/4です。

3/10ｘ2/5＝0.3ｘ0.4＝0.12＝6/50です。

だから掛け算はそのままかけて計算します。

割り算はこのサイトを参考にしてください。

https://atarimae.biz/archives/2326

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/02/07 20:34

「比の値」は習いましたか。

2:1 の比の値は 1/2=0.5 です。
つまり 1/2 は 1÷2 ということです。
では、3/4 とは どんな事でしょうか。
「1つのものを 4つに分けた 3つ分」ということです。
(3/4)x(5/8) は、「(4つに分けた3つ分)の
(8つに分けた 5つ分) ということです。
つまり (3/4)÷8x5=(3/4)x5÷8=(3/4)x(5/8) になります。

次は 割り算ですね。
6÷3=2 で、これを掛け算にすると 6x(1/3)=2 となる事は 分かりますか。
つまり 3 を 分数の (3/1) と考えれば 逆数を掛けることになりますね。
分数同士でも 同じ考え方です。
「なぜ逆数を掛けるか」の答えは「そうすると計算が楽だから」
としか言えません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/07 20:20

分数の掛け算割り算に必要なのは、約分とその逆です。

3×(5/8) = (3×5)/8 になるのと同じように
(3/4)×(5/8) = ((3/4)×5)/8 です。
分数の分子分母に同じ数を掛けても値は変わらないので、
((3/4)×5)/8 = ((3/4)×5×4)/(8×4) = (3×5)/(8×4) になります。
分子どうし分母どうしを掛けたように見えるのは、結果論に過ぎません。
たまたま、そんなふうに見えるだけです。 結果的に合ってますけど。

割り算も同様。
(3/4)÷5 = 3/(4×5) であるのと同じように
(3/4)÷(5/8) = 3/(4×(5/8)) です。
分数の分子分母に同じ数を掛けても値は変わらないので、
3/(4×(5/8)) = (3×8)/(4×(5/8)×8) = (3×8)/(4×5) になります。
割るほうの分数の分子分母をひっくり返して掛けた
(3/4)÷(5/8) = (3/4)×(8/5) のように見えるのは、結果論に過ぎません。
たまたま、そんなふうに見えるだけです。 結果的に合ってますけど。

結果だけを先取りせずに、計算過程に戻って理解するとよいです。