数学の積分の問題がわかりません。 この画像の問題の赤マーカー部分がわかりません。 その式までなら理解

数学の積分の問題がわかりません。

この画像の問題の赤マーカー部分がわかりません。
その式までなら理解できます。どうしてその式になるのかがわかりません。上の式をそのまま積分してみたら、答えが出なかったです。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/13 20:29

x^(偶数) は遇関数、 x^(奇数) は奇関数であることから

　　∫[-1,1] x^(偶数n) dx = 2∫[0,1] x^n dx,　　←(E)
　　∫[-1,1] x^（奇数) dx = 0　　　　　　　　　←(O)
であることを使っています。

(ax^3+bx^2+cx+d)(px^2+qx+r) の右側の括弧を展開して
p, q, r ごとに整理すると、
= p(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2) + q(ax^4+bx^3+cx^2+dx) + r(ax^3+bx^2+cx+d)
になります。 これが 2行目。

2行目のそれぞれの ∫ を計算するときに、
冒頭の (E)(O) を利用すると赤線の式になります。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/13 20:24

f(x) が偶関数のとき、∫[x:-a→a] f(x) dx=2∫[x:0→a] f(x) dx

f(x) が奇関数のとき、∫[x:-a→a] f(x) dx=0

p∫[x:-1→1] (ax⁵+bx⁴+cx³+dx²) dx
=p∫[x:-1→1] (bx⁴+dx²) dx + p∫[x:-1→1] (ax⁵+cx³) dx
=2p∫[x:0→1] (bx⁴+dx²) dx + 0
=2p∫[x:0→1] (bx⁴+dx²) dx

他の部分も同様です。