利潤を求める問題

完全競争下にある企業は利潤(Π): Π=Y-rK-wLを生産関数Y=AK^αL^1-α
を制約として最大化する。ここで、Y,K,L,r,wはそれぞれ、産出量、資本(需要)、労働(需要)、資本コスト(金利 と捉えてもよい)、 賃金を示す。Aは、生産技術を示し、外生的に与えられるとする。
という設問で、〇利潤を求めなさいという問題について質問があります。
　生産関数がコブダグラス型で与えられているので、費用関数を求めるために
min C=rK + wLすなわちY=AK^aL^(1-a)　の費用最小化をといて求めたC(Y)を Π=Y-C(Y)という形で求めるというアプローチであっているでしょうか。
　最初は利潤のYに生産関数を代入してL,Kをそれぞれ偏微分して解こうと思ったのですがうまくいかなくて、先のアプローチで解いています。途中計算で躓いてしまって過程の考え方があっているかお聞きしたいです。

質問者からの補足コメント

• 費用最小化の一階条件は-MPL/MPK=-w/rなので、それを計算してL=((1-a)/a)(r/w)K　Ｋ＝(a/1-a)(w/r)L を求めて　生産関数　Y=AK^aL^(1-a)　に代入するのは問題ないのですが、質問する前に計算に躓いているというのがここで、生産関数にＬを代入してY=K^a[(1-a/a)(r/w)K]^1-a Y=K[(1-a/a)(r/w)]^1-a K=Y/[(1-a/a)(r/w)]^1-a 生産関数にKを代入して Y=[(a/1-a)(w/r)L]^a・L^1-a
  L=Y/[(a/1-a)(w/r)]^1-a の形にそれぞれ整理して　C=rK+wLの式に代入して費用関数を求めたいのですが、計算が間違えているのか整理しきれていないのか躓いてしまっています。ここの過程についてお教えして頂けるとありがたいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/22 18:34

• 

  たびたびすみません。自分の導出過程なのですが、
  Y=K^a・[(1-a/a)(r/w)K]^1-a
  Y=K・[(1-a/a)(r/w)]^1-a
  K=Y・[(1-a/a)(r/w)]^a-1 ①
  
  Y=[(a/1-a)(w/r)L]^a・L^1-a
  Y=[(a/1-a)(w/r)]^a・L
  L=Y[(a/1-a)(w/r)]^-a　②
  
  C=rK+wLに①②を代入して、
  C=r・Y・[(1-a/a)(r/w)]^a-1+wY[(a/1-a)(w/r)]^-a　③
  
  C＝の式が③のようになってしまいgootarohanakoさんが示してくれたような足し算もなにもない綺麗な形にどうなってもならなくて困っています。多分、代入とかでルール違反を犯してしまって正しい計算になっていないのかなと思っているのですが、指摘していていただけると嬉しいです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/02/22 22:04

• 利潤Πは
  Π＝pY-C(Y)=pY-cY=(p-c)Yとなる。
  p-cの部分を場合分けしたい。
  p>cの時、生産関数が収穫一定なので無限に利潤を生みだす。つまり、利潤を最大化する生産量は定まらないー無限になる。
  p=cの時p-c=0になってしまうので、利潤はYの値に関係なく0になる。
  p<cの時、商品を売るたびに赤字になってしまうので、生産量は0
  よって、
  p>cの時は生産量は定まらないので利潤は求められず、p≦cの時は利潤は0になる。
  という答えになりました。ただ、この答えだとせっかく求めたc=(1/A)・(1/a)^a・(1/(1-a))^(1-a)・r^a・w^(1-a)の全く関わらない計算になってしまったのですが...
  利潤化最大化問題を解く際は、収穫一定の生産関数の時は全てこういった形(p-c)Yの場合分けになるのでしょうか？

    補足日時：2021/02/23 10:58

• あとこの問題で与えられている式は、利潤(Π): Π=Y-rK-wLでｐYの形になっていませんが、これは問題の間違え？なのでしょうか。それとも、利潤の式でY-の形になっていないということはp=1ということなら、答えは1>cの時は生産量は定まらないので利潤は求められず、1≦cの時は利潤は0になりそうですが。

    補足日時：2021/02/23 11:09

No.5 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/02/23 13:57

>あとこの問題で与えられている式は、利潤(Π): Π=Y-rK-wLでｐYの形になっていませんが、これは問題の間違え？なのでしょうか。

それとも、利潤の式でY-の形になっていないということはp=1ということなら、答えは1>cの時は生産量は定まらないので利潤は求められず、1≦cの時は利潤は0になりそうですが。

うっかりpが抜け落ちてしまったと考えるのが自然でしょう。私は当然ｐは入っているものだと思って気づきませんでした。善意に解釈するなら、ｐ＝１と、財の価格は１にノーマライズされているとするのでしょうが、そうなら、問題の本文でそういう注意書きが入るのが普通です。

＞利潤化最大化問題を解く際は、収穫一定の生産関数の時は全てこういった形(p-c)Yの場合分けになるのでしょうか？

ｐ＞cという状況は均衡でないので、均衡においてはｐ≦cが成立し、したがって利潤はゼロとなる。技術がコブダグラスでなくても、規模に関して収穫一定なら、ここでの結果が成り立ち、利潤はゼロとなる。
なお、規模について収穫一定であっても、「短期」においては一部の生産要素は固定しているので、利潤はゼロとはならない。「短期」の定義は、一部の生産要素（たとえば資本とか、土地とか）が「固定」していてその要素の水準を自由に選択できない状況をいう。

この回答へのお礼

利潤最大化問題についてとても理解が深まりました。最後までお付き合いいただきありがとうございました。

お礼日時：2021/02/23 14:09

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/02/23 06:53

確認できたのだろうか？求めた一階の条件は等費用曲線だけでなく、No3で示したように、生産関数にも代入しないとだめだ。

あなたの③には、生産関数の係数Aが入っていない。ということは生産関数を用いていないということだ。
小文字のｃが求まったら、No1で指摘した最後の部分(ヒントの部分）はどう処理する？

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/02/22 23:08

コスト最小化の1階の条件はあなたの最初のコメントにあるように

　　MPL/MPK=w/r
これを計算すると、
K=(w/r)(a/(1-a))L　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
となる。あなたもこれは導出している。(*)を等費用曲線
C=rK+wL
のKに代入して、
C=(1/(1-a))wL (**)
を得る。つぎに、(*)を
生産関数
Y=AK^aL^(1-a)
のKに代入し、
Y＝A(w/r)^a・(a/(1-a))^aL
よって
L = (1/A)[(r/w)(1-a)/a]aY (***)
最後に,(***)を(**)のLに代入すると、CをYの関数として表すと、私の費用関数が得られる。各ステップを確認されたい！！

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/02/22 19:46

費用関数は私の計算が間違っていないとすると

C=(1/A)・(1/a)^a・(1/(1-a))^(1-a)・r^a・w^(1-a)・Y

となるはず。したがって、小文字のｃは

c=(1/A)・(1/a)^a・(1/(1-a))^(1-a)・r^a・w^(1-a)

となる。確かめてください。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/02/22 16:15

この問題はここでも何度も質問され、多くの人が躓いている問題です。

おっしゃるように、まず
min C=rK+wL
s.t.
Y=AK^aL^(1-a)
を解いて、費用関数C=C(Y)を求めてください。この費用関数は
C＝ｃY
と書けるはずです。この小文字のｃは生産1単位あたりの費用（平均費用）で、r、w等に依存する定数です。まず、それを求める！。費用関数が求まったら、つぎに
利潤Π
Π＝pY-C(Y)=pY-cY=(p-c)Y
を最大化するYを求める。多くの人はここで躓く。あなたなら、どうする？ヒントは３つのケースに場合分けをする、ということです。