数学 曲線や直線によって囲まれた面積を求める場合について、 例えば、y=1/x x=1,x=eと与え

数学

曲線や直線によって囲まれた面積を求める場合について、
例えば、y=1/x x=1,x=eと与えられていた場合、x=1,eをyの式に当てはめてプラスであればそのまま積分するというやり方でよろしいのでしょうか？
それとも必ず図を書いて確かめるのが良いのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/08 11:26

良い答案にしたいなら、

グラフとx軸との上下関係
グラフとx軸との共有点（あれば）
曲線が複数の場合は、曲線同士の上下関係、共有点
が分かる程度の図を書くのが良い作戦です

ご呈示のy=1/xのような単体のグラフなら増減表を書くのも良いと思います

また、文章で
「1≦x≦eのとき　y>0であるから
求める面積は・・・・」
というようにx軸との位置関係にふれておくのも良いです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/08 07:37

y=1/x, x=1, x=e, y=0 で囲まれた面積

ということでよいのですね？
グラフは一切書かなくても、求める面積が
∫[1,e] ｜1/x - 0｜ dx であることは判ります。
被積分関数の絶対値を外すために
中身が 0 になる点を探す必要がありますが、
今回は式を見れば
1≦x≦e の範囲で ｜1/x - 0｜=1/x である
ことがすぐ判るので、あとは
∫[1,e] (1/x) dx を計算するだけです。
一般の ∫[a,b] ｜f(x) - 0｜ dx であっても、
a≦x≦b の範囲での f(x) の符合変化だけ
判れば積分を計算するｋとができ、
式計算のみで押す通すことができます。
グラフの概形は、要らないと思います。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/08 06:49

正確なグラフはかけなくても大丈夫ですが、面積を求める部分が分かる程度の大凡のグラフも分からない場合は厳しいです。

また、大凡のグラフと言っても、上の2次関数の例で言えば、x軸との交点は不可欠です。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/08 05:52

y=1/x, x=1,x=eとx軸で囲まれた部分の面積ということだと思いますが、y=1/x は x=1,x=eの範囲で常に正なので問題はありません。

しかし、積分区間で正になったり負になったりするものもあります。例えば、2次関数 y=(x-1)(x-4) , x=0 , x=5 とx軸で囲まれた部分の面積を求める場合、x=0 のとき、y=4、x=5 のとき、y=4 で正ですが、1<x<4　のときは負なので、そのまま積分するわけにはいきません。グラフをかいて確かめましょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。(x軸が抜けていましたm(._.)m)
ということはグラフが書けなければoutという認識で大丈夫でしょうか？

積分区間で+,-が変わることもあるのでやはり大凡のグラフは書けないと厳しいのですかね、、

お礼日時：2021/03/08 06:04