比例式

問題　b+c/a=c+a/b=a+b/cの時この式の値を求めよ　　　

解答　分母は0でないからa≠0、b≠0、c≠0 つまりabc≠0
　　　b+c/a=c+a/b=a+b/c=kとおくと　
　　　b+c=ak...①c+a=bk...② a+b=ck...③
　　　①＋②＋③より
　　　2(a+b+c)=(a+b+c)k
〔1〕a+b+c=0のとき　b+c=-a
　　　よってk=b+c/a=-a/a=-1
　　　〔2〕a+b+c≠0のとき　k=2
　　　　このとき①一②からa=b ②一③からb=c
　　　よってa=b=cが得られ、これはabc ≠0を満たす全ての実数a、b、cで成り立つ　
　　　よって求める式の値は-1、2

ここで質問なんですけど、この問題の記述を書くときに、最初にabc≠0(分数なのでこの条件でないとそもそも問題が成り立たない）と書いているため、その後の計算は全てabc≠0の元で計算しているのに、計算して出たkの値に対して、もう一度〔2〕のようにabc≠0の十分性を確かめているのは何故ですか？もしかして
abc≠0の元でkの値を出す→出したkはなんとabc≠0を破壊してしまう厄介なヤツである　ということが起こり得る→だからabc≠0の十分性を確認しなければならない
という見解でしょうか？
過去に同じような内容を質問している方がいますが、その解答者の説明では理解ができないので事細かく教えてくださると幸いです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/17 21:23

その通り 確認の意味ですね。

問題によっては abc≠0 として 計算を進めても、
途中計算次第では abc=0 が含まれる結果に
なる事もあり得ます。

この回答へのお礼

見解が正しかったのですね。よかった☺️　　
どうもこんなに長い文を読んでいただきありがとうございました。

お礼日時：2021/03/17 22:30

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/03/17 21:26

abc≠0とa+b+c≠0では条件が異なるので、解答を重複してはいない。

abc≠0はa,b,cいずれも0ではないが、a+b+c≠0はa,b,cいずれも0でなくてもa+b+c=0になる場合がある。
例えば、a=1,b=2,c=-3だとabc≠0だがa+b+c=0になる。