数学1A、2次関数のある問題について質問です。 問題と解答については、写真を添付してあるので、そちら

数学1A、2次関数のある問題について質問です。

問題と解答については、写真を添付してあるので、そちらを見ていただきたいです。

主に質問は2つあります。

①
解答最初の部分について質問です。

2x＋y を t と勝手に置いていることに疑問があります 。文字に置き換える際は範囲を指定すべし！と習いました。

でも解答では、勝手に t に置き換えて、そのまま y＾2＝2ーx＾2 に代入しています…。

というのも、2x＋y には取りうる値があるわけで…、、。
結局最終的にはその範囲を求めることになるわけですが、とにかく、y＝tー2x を当たり前のように代入して 判別式求めて…というのが数学的に合法なのはなぜですか？

②
別のやり方ではできないですか？

具体的には、y＾2＝2ーx＾2 より 2ーx＾2≧0 なので、xの範囲が分かります。
また、y＾2＝2ーx＾2 より y＝±√(2ーx＾2)。これを 2x＋y に代入すると、xだけの式で表せるので、グラフを書いて 先ほど求めたxの範囲(定義域)を考え、最大値最小値を求めます。

これじゃダメですかね？理由なども教えてください。

以上主に2つの質問です。
回答、よろしくお願いします。長々と失礼しました。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/21 20:21

①

置くのは自由ですよ。 2x+y=t と置いていけない理由は何もないし、
それを使って y を消去する前に t の変域を求めておく必要もありません。
習った「すべし！」が間違っているだけです。

置き換えた後で、何かを t の関数として考える場合には、
x, y の変域を t の変域に翻訳しておく必要がありますが、
この問題は、そういう問題ではありません。
写真の回答も、2x+y を t の関数として扱おうとはしていませんよね。

②
別のやり方は、たくさんあります。
私は、 x^2+y^2=2 を x=(√2)cosθ, y=(√2)sinθ に翻訳する
やり方が好きですね。

あなたのやり方もokです。ただし、その方法だと
2x+y を x の関数として扱うときに、微積分の知識がそこそこ必要です。
簡素な解法で解いたほうが、ややカッコイイかなとは思います。