数学の質問です。 (x ＋ 1/x∧2 ＋ 1)∧5 の展開式における定数項を求めよ、という問題です

数学の質問です。

(x ＋ 1/x∧2 ＋ 1)∧5 の展開式における定数項を求めよ、という問題です。

解答は以下のようにやってました。

まず、
5!/p!q!r!・x∧p・(1/x∧2)q・1∧r
＝5!/p!q!r!・x∧p・1/x∧2q・1

定数項は x∧p / x∧2q ＝ 1 とすると、x∧p＝x∧2q より、p＝2q

またp＋q＋r＝5より、r＝5−3q
0≦r より、5−3q≧0

つまりq＝0,1 のとき………………

と解答はやってたんですが、" x∧p / x∧2q ＝ 1 とすると" の部分が意味分かりません。

なぜ、定数項のとき、 x∧p / x∧2q ＝ 1 になるんですか？？

確かに、定数項なら xの部分は消えると思いますが、別に 1 になる必要はないと思いました。

よろしくお願いします。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/08 18:16

>x∧p / x∧2q ＝ 1 とすると" の部分が意味分かりません。

2p=q なら xが何だろうが１になるから。
当たり前ですよね？

展開するとき
xを0個, 1/x^2 を0回選ぶ →1通り
xを2個, 1/x^2 を1回選ぶ →５C2・3C1 = 30通り

計 31通り　だから定数項は 31 個できて全部1だから合計は31

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/08 09:45

(x^p)/(x^2q) ＝ 1 になるんじゃなく、

(x^p)/(x^2q) ＝ 1 にするんだよ。
そのとき、((5!)/(p!q!r!))(x^p)/(x^2q) が定数項になる。

(x^p)/(x^2q) ＝ 1 じゃなかったら、
たとえば (x^p)/(x^2q) ＝ x^(p-2q) = x^2 だったら、
((5!)/(p!q!r!))(x^p)/(x^2q) = ((5!)/(p!q!r!))x^2 で
これは定数項じゃないでしょ。

(x^p)/(x^2q) ＝ 1 であれば
((5!)/(p!q!r!))(x^p)/(x^2q) = ((5!)/(p!q!r!)) で
定数項になってる。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/07 21:01

(x ＋ 1/x∧2 ＋ 1)∧5 って、どんな式？

どこまでが分子で どこまでが分母ですか。
他人が見ても分かるように書いて下さい。

尚、問題の式の定数項が 1 ならば、
何乗しても 定数項は 1 の筈です。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/04/07 19:55

x^p/x^2q=x^(p－2q)

定数項なので、
p－2q=0

これより、
x^(p－2q)=x^0=1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/07 19:50

＞(x ＋ 1/x∧2 ＋ 1)∧5 の展開式

それって、どういう式ですか？

[x + (1/x^2) + 1]^5

でよいですか？

それとも

[(x + 1)/(x^2 + 1)]^5

とか

[(x + 1)/x^2 + 1]^5

のつもり？

テキスト文で数式を書くときには要注意だよ。