不等式について。

全部のnで毎回覆うkが見つかる同じ場所を探します。α=0とします。|0-k/n|<=1/3nです。n=1000000のときです。|-k/1000000|<=1/3000000です。0<=1/3000000です。k=0のとき成り立ちます。どんなnを取ってきてもk=0でα=0です。k=nのときも毎回覆う場所が重なります。α=1とします。n=1000000のときです。|1-1000000/1000000|<=1/3000000です。0<=1/3000000です。k=1000000のとき成り立ちます。nとkが1で範囲の真ん中はα=1です。α=0,1のとき成立します。
　実数の中の条件を満たすαは整数です。k=0で有理数でないすんごい0に近い0でないαが満たすでしょうか?おのおのの整数の両隣の有理数でない数も成立するαでしょうか?
これは、どうなるのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。
ご教授いただけないでしょうか？すみません。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/26 18:38

←No.3 補足

｜(3^(d+1))α - 3k｜≦1 は、
x-1 ≦ 3k ≦ x+1 ただし x = (3^(d+1))α とも書けます。
x-1, x+1, 3k の数直線上の位置関係を図示してみましょう。
x が整数である場合と整数でない場合で、図の様子が異なります。

(1)
x が整数である場合は、 [x] = x であって、
x-1 ≦ □ ≦ x+1 の範囲は [x]-1, [x], [x]+1 と 3個の整数を含みます。
3個の連続した整数なので、その中には 3の倍数が必ずあり、
3k と書けるものがあります。

(2)
ｘ が整数でない場合は、[x] < x < [x]+1 であって、
x-1 ≦ □ ≦ x+1 の範囲にある整数は [x], [x]+1 の 2個だけです。
[x] = 3k となるときは、[x] を 3で割った余りは 0 であり、
[x]+1 = 3k となるときは、[x] を 3で割った余りは 2 です。

x = (3^(d+1))α の α, x を 3進小数で書けば、
x は α の小数点を d+1 桁右へ移動したものであり、
その整数部分を 3で割った余りは α の小数第 d+1 位の値です。

それが (1)(2) の条件に合うか？ という話をしています。

この回答へのお礼

x は α の小数点を d+1 桁右へ移動したものであり、
その整数部分を 3で割った余りは α の小数第 d+1 位の値です。
とは、どういう事でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/26 19:14

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/25 21:31

No.1 への補足も、何言ってんのか判らないが、

この質問の元になった問題なら、連投の初回から見ている。

任意の自然数 n に対して、それぞれ
｜α - k/n｜≦1/(3n) を満たす整数 k が存在するとき、
実数 α はどんな数か？ だったはず。
初回質問のとき、誰だったかが理由抜きで
α = m/3 となる整数 m がある場合と答えていたと思う。

理由を書いてみる。
題意の不等式は、｜3α - 3k/n｜≦1/n と変形できる。
特に n = 3^d {dは0または自然数} の場合を考えてみると、
必要条件として ｜(3^(d+1))α - 3k｜≦1 が出てくる。
この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している。
α を 3進数の小数で書くとき、小数第 d+1 位が
0 または 2 であると言っても同じことである。　　←[＊]

次に、n = 2・3^d の場合を考える。
題意の不等式が ｜(3^(d+1))(2α) - 3k｜≦1 と変形されるから、
上記の理由で 2α の小数第 2位以下も 0 または 2 である。
α の 3進小数表示に数字が "20" と続く箇所があったとすると、
2倍したとき、そこの 2桁は "10" または "11" になってしまう。
[＊]に反するから、それは許されない。つまり、
α の ３進小数表示に "20" という数字の並びは現れない。

α の 3進小数表示は、小数第 2位以下に 0 がいくつか並び、
そのままづっと 0 であるか、または一旦 2 が現れたら
そこから下の位は全て 2 ということになる。
解析学では、10進法で 0.999… = 1 だという話題がよくあるが、
３進数でも同じことが起こる。3進法では、0.222…1 である。
ある桁から下が全て 2 であるような 3進小数は
１桁上の数字が 1 であるような有限小数と同じなので、[＊]に反する。

以上を総合すると、α の 3進小数表示は、
小数第 2桁以下が全て 0 のものしかない ということになる。
それは、α を 3倍すると整数になるということである。

この回答へのお礼

この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している。
α を 3進数の小数で書くとき、小数第 d+1 位が
0 または 2 であると言っても同じことである。　　←[＊]
の所をもう少し詳しくご教授いただけないでしょうか？すみません。
0または 2であることを示している。という所がわかりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/25 23:10

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/25 19:44

条件を満たすαは(整数/3)である事を以下(No14と同じ)で証明しています

-----------------------------------------------------
αを実数とする
任意の自然数nに対して、ある整数k(n,α)が存在して、
|α - k(n,α)/n|≦1/(3n)
が成り立つとする
[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを|α-k(n,α)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x+[α+1/2]-k(n,α)/n|≦1/(3n)
|x-{k(n,α)+n[α+1/2]}/n|≦1/(3n)
↓k(n,x)=k(n,α)+n[α+1/2]とすると

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=1の時
|x-k(1,x)|≦1/3

x≦k(1,x)+1/3
↓-1/2≦xだから
-1/2≦k(1,x)+1/3
-5/6≦k(1,x)

k(1,x)-1/3≦x
↓x<1/2だから
k(1,x)-1/3<1/2
k(1,x)<5/6
-5/6≦k(1,x)<5/6
↓k(1,x)は整数だから
k(1,x)=0
↓これを|x-k(1,x)|≦1/3に代入すると
|x|≦1/3
-1/3≦x≦1/3

|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)
だから
n=2の時
|x-k(2,x)/2|≦1/6
k(2,x)/2-1/6≦x≦k(2,x)/2+1/6
x≦k(2,x)/2+1/6
↓-1/3≦xだから
-1/3≦k(2,x)/2+1/6
-1≦k(2,x)

k(2,x)/2-1/6≦x
↓x≦1/3だから
k(2,x)/2-1/6≦1/3
k(2,x)≦1
↓-1≦k(2,x)
-1≦k(2,x)≦1
k(2,x)=-1,0,1

k(2,x)=-1の時
|x+1/2|≦1/6
x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

k(2,x)=1の時
|x-1/2|≦1/6
1/3≦x
↓x≦1/3だから
x=1/3

k(2,x)=0の時
|x|≦1/6
-1/6≦x≦1/6
ある自然数n≧2に対してk(n,x)=0と仮定すると
↓これを|x-k(n,x)/n|≦1/(3n)に代入すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}

x-k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}
x≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
↓-1/(3n)≦xだから
-1/(3n)≦k(n+1,x)/(n+1)+1/{3(n+1)}
-1/(3n)-1/{3(n+1)}≦k(n+1,x)/(n+1)
-(n+1)/(3n)-1/3≦k(n+1,x)
(-2n-1)/(3n)≦k(n+1,x)
↓-1<(-2n-1)/(3n)だから
-1<k(n+1,x)

k(n+1,x)/(n+1)-x≦1/{3(n+1)}
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦x
↓x≦1/(3n)だから
k(n+1,x)/(n+1)-1/{3(n+1)}≦1/(3n)
k(n+1,x)/(n+1)≦1/{3(n+1)}+1/(3n)
k(n+1,x)≦(n+1)/(3n)+1/3
k(n+1,x)≦(2n+1)/(3n)
↓(2n+1)/(3n)<1だから
-1<k(n+1,x)<1
↓k(n+1,x)は整数だから
k(n+1,x)=0
↓これを|x-k(n+1,x)/(n+1)|≦1/{3(n+1)}に代入すると
|x|≦1/{3(n+1)}
すべての自然数n≧3に対して
k(n,x)=0
|x|≦1/(3n)
だから
x=0
だから
x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である
-------------------------------------------------------------
3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/25 14:15

質問は、文字の羅列ではなく、日本語で。

この回答へのお礼

実数の中の条件を満たすαは整数です。k=0で有理数でないすんごい0に近い0でないαが満たすでしょうか?おのおのの整数の両隣の有理数でない数も成立するαでしょうか?ここが分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/25 14:21