教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

n=0,1,2・・・について∫{|x|cos(nx)} dx
積分区間:-π→π

以上について計算過程を示していただけると助かります。(特に場合分け)

(初めての質問なので不備があるかもしれません..)

gooドクター

A 回答 (2件)

∫[-π,π] |x|cos(nx) dx


= ∫[-π,0] |x|cos(nx) dx + ∫[0,π] |x|cos(nx) dx
= ∫[-π,0] (-x)cos(nx) dx + ∫[0,π] x cos(nx) dx
= ∫[π,0] u cos(-nu) (-du) + ∫[0,π] x cos(nx) dx ; u = -x
= ∫[0,π] u cos(nu) du + ∫[0,π] x cos(nx) dx
= 2∫[0,π] x cos(nx) dx
= 2{ [ x (1/n)sin(nx) ]_(x=0,π) - ∫[0,π] 1 (1/n)sin(nx) dx }
= 2{ (0 - 0) - (1/n)[ - (1/n)cos(nx) ]_(x=0,π) }
= 2(1/n)^2・{ cos(nπ) - 1 }
= (2/n^2){ (-1)^n - 1 }.
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絶対値は x にしかかかってないから単純に絶対値を外すだけでは?

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