定積分の問題です（三角関数と絶対値）

n=0,1,2・・・について∫{|x|cos(nx)} dx
積分区間:-π→π

以上について計算過程を示していただけると助かります。（特に場合分け）

（初めての質問なので不備があるかもしれません..)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/02 01:25

∫[-π,π] ｜x｜cos(nx) dx

= ∫[-π,0] ｜x｜cos(nx) dx + ∫[0,π] ｜x｜cos(nx) dx
= ∫[-π,0] (-x)cos(nx) dx + ∫[0,π] x cos(nx) dx
= ∫[π,0] u cos(-nu) (-du) + ∫[0,π] x cos(nx) dx　； u = -x
= ∫[0,π] u cos(nu) du + ∫[0,π] x cos(nx) dx
= 2∫[0,π] x cos(nx) dx
= 2{　[ x (1/n)sin(nx) ]_(x=0,π)　-　∫[0,π] 1 (1/n)sin(nx) dx　}
= 2{　(0 - 0)　-　(1/n)[ - (1/n)cos(nx) ]_(x=0,π)　}
= 2(1/n)^2・{ cos(nπ) - 1 }
= (2/n^2){ (-1)^n - 1 }.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/02 00:20

絶対値は x にしかかかってないから単純に絶対値を外すだけでは?