検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。
r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)
(1)dr/dθを求めよ。
自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
= -1/√sin2θ
= - √sin2θ/sin2θ ←有利化
(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1
(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
x = rcosθ、y = rsinθ とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ
よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ
と、ここでつまってしまいました。。。
(1)、(2)も自信がありません…。
どなたかわかる人がいましたら、
ご教授いただけると非情に助かります。
よろしく御願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
これは高校レベルです。
dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)
> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。
(2) (1)が間違っていますので たとえ結果が合っていても
(2)は零点になりますね。
>dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
> = -1/√sin2θ
↑の(1)の間違った計算式からは
dr/dθ =0 となるθは存在しません。
ここで計算間違いに気が付かないといけませんね。
sin(2θ)=0→θ=0→ r(0)=√1=1
> (3)直行座標(x,y)
また誤字です。
「直交座標」のミス。
r^2=cos(2θ)=1-2(sinθ)^2
r^2=1-2(y/r)^2
x^2 +y^2=1-{2y^2/(x^2+y^2)}
(x^2+y^2)^2=x^2+y^2-2y^2
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2…(A)
xで微分
2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'
y'=-(x/y){x^2+y^2-(1/2)}/{x^2+y^2+(1/2)}
y'=0の時 x^2+y^2=(1/2)…(B) ←なぜx=0が排除されるか考えて下さい。
(A)に代入
x^2-y^2=1/4
x=±√6/4,y=±√2/4…(C)
r≧0,-π/4≦θ≦π/4から
r=√(x^2+y^2)=√2/2
cosθ=x/r=√3/2
∴θ=±π/6
r^2=cos(2θ)より
θ=±π/6→r(±π/6)=(√2)/2
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
>>>
r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)
(1)dr/dθを求めよ。
自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
= -1/√sin2θ
= - √sin2θ/sin2θ ←有利化
最初の式 r^2=cos2θ の両辺を、いきなりθで微分すればよく、
2r・dr/dθ = -2sin(2θ)
dr/dθ = -sin(2θ)/r
= -sin(2θ)/√(cos(2θ))
= -√(1-cos^2(2θ))/√(cos(2θ))
cos(2θ)= t と置いて
= -√((1-t^2)/t)
>>>
(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1
-√((1-t^2)/t) = 0
t^2 = 1
t = ±1 = cos(2θ)
θ = nπ
-π/4≦θ≦π/4 なので、
θ = 0
r^2 = cos2θ = 1
>>>
(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。
x = rcosθ、y = rsinθ とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ
よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ
と、ここでつまってしまいました。。。
rは定数ではなくθの関数です。
したがって、「積の微分」になります。
dx/dθ = dr/dθ・cosθ - rsinθ
dy/dθ = dr/dθ・sinθ + rcosθ
ここで、上記で求めた dr/dθ が活躍することになると思います。
では、続き、頑張ってください。
なお、私、計算間違い、書き間違いを時々やらかすので、上記は検算してくださいね。
ちなみに、本線と関係ないですが、
- √sin2θ/sin2θ ←有利化
という有理化は、かえって複雑になるので不要です。・・・というよりも、やるべきではありません。
迅速に答えていただき、ありがとうございます!
今ちょっと時間がないので、
また計算をして確かめたいと思います。
本当に助かります!
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