高校数学 三角関数の合成問題について

公式　asinθ+bsinθ

asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+α)

高校数学を教えてください。

三角関数の合成公式
asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+α)　です。

具体的な問題（左辺が問題で右辺がその答え）
-sinθ+cosθ=√2sin（θ+3/4π)

答えの
√a²+b²部分となる√2は分かりますが、
α部分となる3/4πが分かりません

1/√2や-sinθ、cosθなどから-3/4πなどちょっと連想しますが、
αの解き方を教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/16 11:25

公式暗記で混乱するなら以下のように

１，三平方の定理を利用
２，加法定理を利用です

-sinθ+cosθを合成
sinθ、cosθの係数の絶対値１を　三平方にかけて
√(1²+1²=√2だから
√２でくくりだす
-sinθ+cosθ=√2{(-1√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
{}内部を加法定理と比較
sin(θ+α)=sinθ(-1√2)+cosθ(1/√2)
⇔sinθcosα+cosθsinα=sinθ(-1√2)+cosθ(1/√2)
⇔cosα=(-1√2)、sinα=(1/√2)
これを満たすのは　α=(3/4)π

ゆえに
-sinθ+cosθ=√2{(-1√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
＝sinθ(-1√2)+cosθ(1/√2)
=sinθcosα+cosθsinα
=sin(θ+α)
α=(3/4)π

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/16 11:27

1,訂正

ゆえに
-sinθ+cosθ=√2{(-1√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
＝√2{sinθ(-1√2)+cosθ(1/√2)}
=√2(sinθcosα+cosθsinα)
=√2sin(θ+α)
α=(3/4)π

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/16 11:44

a sinθ + b cosθ = r sin(θ+α) の右辺を展開してみましょう。

加法定理を使って、 r sin(θ+α) = r{ sinθcosα + cosθsinα }
　　　　　　　　　　　　　　= (r cosα)sinθ + (r sinα)cosθ です。
a = r cosα,
b = r sinα となる r, α を見つければ、三角関数が合成できます。
(cosα)² + (sinα)² = 1 より
r = √{ (r cosα)² + (r sinα)² } = √{ a² + b² } だし、
この r を使って
cosα = a/r,
sinα = b/r です。
cosα, sinα の値から α を見つけるには、
単位円の絵を書いて考えればよいですね。

-sinθ+cosθ の場合は、
r = √{ (-1)² + 1² } = √2,
cosα = -1/√2,
sinα = 1/√2 になります。
単位円を書いて点 (-1/√2, 1/√2) を書き込むと、
動径 180° - 45° のところにありますね。
α = π - π/4 = (3/4)π です。