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微分可能なf(x)について
fが偶関数ならばf’は奇関数である
は正しいか?正しければ証明を、成り立たなければ反例をあげよ。 このもんだいを教えてください。

gooドクター

A 回答 (2件)

正しい。


積分の場合( https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12375872.html )とは違って、
微分すると、偶関数→奇関数, 奇関数→偶関数 になる。

f(x) が遇関数( f(-x) = f(x) )ならば、
f’(-x) = lim[h→0] (f(-x+h) - f(-x))/h
   = lim[h→0] (f(x-h) - f(x))/h  ;遇関数
   = - lim[h→0] (f(x+(-h)) - f(x))/(-h)
   = - f’(x)
となるから。
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多項式関数と三角関数で考えると正しそうですが、証明には一般の関数に対するマクローリン展開を考えるのかもしれません。

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