奇関数 偶関数

微分可能なf（x）について
ｆが偶関数ならばｆ’は奇関数である
は正しいか？正しければ証明を、成り立たなければ反例をあげよ。 このもんだいを教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/24 13:49

正しい。

積分の場合( https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12375872.html )とは違って、
微分すると、偶関数→奇関数, 奇関数→偶関数 になる。

f(x) が遇関数( f(-x) = f(x) )ならば、
f’(-x) = lim[h→0] (f(-x+h) - f(-x))/h
　　　= lim[h→0] (f(x-h) - f(x))/h　　；遇関数
　　　= - lim[h→0] (f(x+(-h)) - f(x))/(-h)
　　　= - f’(x)
となるから。

No.1 回答者： 大地のしもべ 回答日時： 2021/05/24 13:42

多項式関数と三角関数で考えると正しそうですが、証明には一般の関数に対するマクローリン展開を考えるのかもしれません。