|cost|のラプラス変換について

|cost|のラプラス変換∫[0,∞]|cost|e^-st dt を計算したいのですが、
問題文には、|cost|=|cos(t+π)|を用いなさいと記述があります。

この条件を使って計算する方法が分かる方いましたら、教えてください。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/06/01 14:37

∫[0,∞]|cos(t)|e^(-st)dt=Σ[n:0,∞]∫[nπ,(n+1)π]|cos(t)|e^(-st)dt

と幅πの積分に分割します。
これを計算するのですが、t=u+nπと変数変換すると
∫[nπ,(n+1)π] |cos(t)|e^(-st)dt=∫[0,π] |cos(u+nπ)|e^{-s(u+nπ)}du
となります。

被積分関数のうち問題のヒントから|cos(u+nπ)|=|cos(u)|となることがわかります。
e^{-s(u+nπ)}=e^(-su)*e^(-nsπ)となりますが、後者は定数とみなせますので積分の前に出せます。

以上のことから
∫[nπ,(n+1)π] |cos(t)|e^(-st)dt=∫[0,π] |cos(u+nπ)|e^{-s(u+nπ)}du
=e^(-nsπ)∫[0,π] |cos(u)|e^(-su)du
ということがわかります。
この∫以降はnによりません。つまりΣの前に出せます。
∫[0,∞]|cos(t)|e^(-st)dt=Σ[n:0,∞]∫[nπ,(n+1)π]|cos(t)|e^(-st)dt
={∫[0,π] |cos(u)|e^(-su)du}Σ[n:0,∞] e^(-nsπ)
と変形できます。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/06/03 21:32