微分

sin^-1√1−ｘ＾2　　を微分するとどうなりますか？計算過程も含めて教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/06 17:29

(d/du) sin^-1(u) = 1/√(1−u^2) を知っていれば、

単に合成関数の微分
(d/dx) sin^-1(√(1−x^2)) = { (d/du) sin^-1(u) }{ du/dx }
　　　　　　　　　　　　　= { 1/√(1−u^2) }{ -2x/(2√(1-x^2)) }
　　　　　　　　　　　　　= { 1/|x| }{ -2x/(2√(1-x^2)) }
　　　　　　　　　　　　　= -(sgn x)/√(1-x^2).
個人的には、このやり方が好き。

高校数学的な工夫としては、
y = sin^-1(√(1−x^2)) と置いて
sin y = √(1−x^2) を微分すると、
(cos y)(dy/dx) = -2x/(2√(1-x^2)) より
dy/dx = -x/{ (cos y) √(1-x^2) }.

ところで、
(cos y)^2 = 1 - (sin y)^2
　　　　　= 1 - (1 - x^2)
　　　　　= x^2
だが、
sin^-1 の定義より cos y ≧ 0 なので、
cos y = |x|.

よって、
dy/dx = -x/{ |x| √(1-x^2) }
　　　= -(sgn x)/√(1-x^2).
とかね。

sgn が好きじゃなければ、
|x| を式に残すとか
x の正負で場合分けするとか。