(√1+sinx)/(√1-sinx)dxの積分 (x:0からTまで(0<=T<π/2))についてで

(√1+sinx)/(√1-sinx)dxの積分
(x:0からTまで(0<=T<π/2))についてですが、
tan(π/2)=tとすると
2(1+t^2)/(t-1)^2(1+t^2)dxとなるのですがここからがどーやって積分していいか分からないのでわかる方いたら教えていただきたいです！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/09 15:32

((√1)+sin x)/((√1)-sin x)dx なの？

(√(1+sin x))/(√(1-sin x))dx なの？
おそらく下のほうのつもりだとは思うんだけど、
質問の式は、上のとおりに読むのが常識だからね。
意図どおり伝わるように、括弧はちゃんとつけよう。

tan(x/2) = t の置換は、何も考えないで
力技の計算で処理するときには
いつでも使える方法なので、やってみてもかまわない。
( tan(π/2) = t だと、 t は定数だけど。)

√( (1+sin x)/(1-sin x) ) = (1+t)/(1-t),
dx = 2dt/(1+t^2)
となるので、
∫ (√(1+sin x))/(√(1-sin x)) dx
= ∫ 2(1+t)/( (1-t)(1+t^2) ) dt　　；上記の式を代入
= ∫{ 2t/(1+t^2) + 2/(1-t) }dt　　；部分分数分解
= log(1+t^2) - 2 log(1-t) + C　　；Cは定数
= log( (1+t^2)/(1-t)^2 ) + C.

これに t = tan(T/2) と t = 0 を代入して
差をとればok.

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/06/09 14:48

質問者の書いている方法でないとだめなの?

単に分母・分子に√(1-sinx)をかければ簡単に計算できるよ。
分子がcosxになるから置換積分ができる形になる。