No.2ベストアンサー
- 回答日時:
自然数m,kに対して
A^m=0
B^k=0
とする
A,Bが可換だから二項定理から
(A+B)^(m+k)=Σ_{j=0~m+k}{(m+k)Cj}A^(m+k-j)B^j
m+k-j≧mの時A^(m+k-j)=0
m+k-j<mの時
k-j<0
k<jだからB^j=0
だから
(A+B)^(m+k)=0
No.1
- 回答日時:
A^m = O, B^n = O, m ≦ n とする。
(m > n であれば、A, B を入れ替える。)A, B が可換だから、二項定理が使えて、
(A+B)^(mn) = Σ[k=0..mn] ((mn)Ck)(A^k)B^(mn-k)
右辺の項が O にならないのは、 k < m, mn-k < n の場合だけである。
(m-1)n < k < m ということだが、
この式を満たす自然数 m,n, 非負整数 k の組は存在しない。
よって、(A+B)^(mn) = O.
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