問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からTまで(0<=T<π/2

問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))dxの積分 (x:0からTまで(0<=T<π/2))をしろという問題で積分すると、-log(1-sinT)になりました。

問2が
(√(1+sinx))/((1-sinx)^a)dxの積分 (x:0からπ/2)が収束するようなaの範囲を求め、その時の広義積分を求めよ。というないようなのですがどうやって解けばいいでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/09 21:04

１．

sinx, cosx≧0

( √(1+sinx) )/√(1-sinx)
=( √(1+sinx) √(1-sinx) )/(1-sinx)=( √(1-sin²x) )/(1-sinx)
=cosx/(1-sinx)

u=1-sinx とおく、du=-cosx dx
∫[1,1-sinT] -du/u=[-log u] [1-sinT,1]=-log(1-sinT)・・・・①

2.
同様に
・a=1/2のとき
　①から、T → π/2 のとき、発散。

・a≠1/2のとき
　∫[1,0] -du/u^(a+1/2)=[ -u^(-a+1/2)/(-a+1/2)][0,1]
　　　=lim[u→0] -u^(-a+1/2)/(-a+1/2) + 1/(-a+1/2)
　したがって、a<1/2 なら収束し、a>1/2なら発散。

したがって、a<1/2のとき積分が存在し、 1/(-a+1/2)