lim(x→0)sinx/x について、ロピタルの定理を用いた場合、正しく利用できていることになるの

lim(x→0)sinx/x
について、ロピタルの定理を用いた場合、正しく利用できていることになるのでしょうか？
結果は1になると思うのですが。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/15 19:14

循環論法でもなくて、単にロピタルを持ち出すことが冗長なだけ

なのだと思う。

(sin x)/ｘ に限らず、一般に f(x)/x の極限がロピタルで求められる場合、
ロピタルの定理の適用条件として、lim[x→0]f(x) = 0 であって
lim[x→0]f(x)/x = lim[x→0]f’(x)/1 の右辺の極限が求められる必要がある。
しかし、その条件が満たされているならば、直接
lim[x→0]f(x)/x = lim[x→0]{ f(x) - f(0) }/{ x - 0 } = f’(0) であることが
導けてしまうので、 わざわざロピタルの定理を経由する意味がない。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/06/15 15:38

別に問題ない。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/06/15 15:36

論理の循環があるかという話であるなら、このような説明がされています。

　
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92 …

なので、d/dx sinx がcosx であることを他の方法で証明できるので、それを前提にするなら問題はないということになりますが、まあ高校数学では数学というよりは解法レベルでしかないということになるのかもしれません。