同次系の微分方程式の問題で、積分ができません。 問: x+(√(x^2+t^2)-t)x’=0 解:

同次系の微分方程式の問題で、積分ができません。

問: x+(√(x^2+t^2)-t)x’=0
解: x^2=C^2-2Ct

x’=dx/dt、Cは任意定数です。
途中まで解いてみましたがわかりませんでした。

同次系なので、x=tu、x’=u+tu’とおいて与式を整理すると、

u√(u^2+1)+(√(u^2+1)-1)tu’=0
∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du=-∫1/t dt

ここの左辺の積分ができなくて困ってます。教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/16 09:23

t = √(u^2+1) で置換して、

∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du
= ∫(t-1)/(ut) (t/u)dt
= ∫(t-1)/(t^2-1) dt
= ∫1/(t+1) dt
= log｜t+1｜ + C　　　　　　；Cは定数
= log｜√(u^2+1) + 1｜ + C

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/16 01:47

tan なり sinh なりにおきかえる.