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同次系の微分方程式の問題で、積分ができません。

問: x+(√(x^2+t^2)-t)x’=0
解: x^2=C^2-2Ct

x’=dx/dt、Cは任意定数です。
途中まで解いてみましたがわかりませんでした。

同次系なので、x=tu、x’=u+tu’とおいて与式を整理すると、

u√(u^2+1)+(√(u^2+1)-1)tu’=0
∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du=-∫1/t dt

ここの左辺の積分ができなくて困ってます。教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

t = √(u^2+1) で置換して、



∫(√(u^2+1)-1)/u√(u^2+1) du
= ∫(t-1)/(ut) (t/u)dt
= ∫(t-1)/(t^2-1) dt
= ∫1/(t+1) dt
= log|t+1| + C      ;Cは定数
= log|√(u^2+1) + 1| + C
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tan なり sinh なりにおきかえる.

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