数学の質問です。 1から9までの番号がひとつずつ書かれた9枚のカードから無作為に1枚取り出し、その番

数学の質問です。

1から9までの番号がひとつずつ書かれた9枚のカードから無作為に1枚取り出し、その番号を確認して元に戻す。この試行を4回行う。カードに書かれた番号を取り出した順にa1、a2、a3、a4 とする時、
a1＜a2＜a3＜a4 となる確率を求めよ。

という問題で、解説には
異なる4枚を引いた組合わせで、順番を考慮する必要はない　　と書かれていました。
ここで疑問に思ったのですが、順番を考慮しないということは、問題文にある
a1＜a2＜a3＜a4 を完全に無視していいってことでしょうか？
例えば、1＝8、a2＝6、a3＝1、a4＝9 となった時、
問題文の通りにすると8＜6＜1＜9となって明らかにおかしいけど、無視していいから、並べ方は9c4通り
これっておかしくないですか？
語彙力が乏しくて申し訳ないですが、質問の意図が伝わった方、どうか教えてください。

No.9 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/07/15 22:20

『異なる4枚を引いた組合わせで、順番を考慮する必要はない』

これの意味は、下記の通りです。　

異なる4枚を、1，6，8，9 のカードとすると、
この4枚のカードの取り出し方は取り出す順番を考慮すると、
₄P₄=24（通り）
この24通りの中の１つが、
a1＝8、a2＝6、a3＝1、a4＝9 で、
これは条件を満たしていませんが、
この24通りの中の１つに
a1＝1、a2＝6、a3＝8、a4＝9
があり、これは条件を満たしています。
24通りの中の他の23通りは条件を満たさず、
条件を満たすのはこの1通りだけです。
(1<6<8<9)

異なる4枚を引けばその24通りの取り出し方の中の１通りだけが条件を満たします。よって、9枚のカードから異なる4枚のカードを引く組合せの数と条件を満たす場合の数は一致します。
したがって、a1＜a2＜a3＜a4 となる場合の数を求めるとき、異なる4枚を引く組合わせを考えれば良く、順番を考慮する必要はないということです。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます！

お礼日時：2021/07/22 14:43

No.8 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2021/07/13 08:50

＃３です。

問題を勘違いしてました。
一旦引いたカードを戻して４回引くんですね。
勝手に４枚を続けて引くものとして考えてました。
※a1=a2など同じカードを続けて引くことが抜けています。

他の回答どおりで、
9c4/9!が正解です。

No.7 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/13 00:17

全ての場合の数は9^4.

このうち「a1<a2<a3<a4となる場合の数」(✴︎)を求めて、それを9^4で割れば確率が求まる.
(✴︎)が9C4通りであることが分かるでしょうか？

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/07/12 22:42

>ちなみに解答は

>(1/4×1/3×1/2×1/1)=1/24
>のはずです。

間違い

9C4÷9^4=14/729

因みに総当たりチェックでも
同様の結果になるので
この結果は動かせません。

この回答へのお礼

いえ、解答は9c4/9⁴＝14/729でした。

お礼日時：2021/07/22 14:42

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/12 20:10

確率を場合の数から、

(求めたい確率) = (a1<a2<a3<a4となるカードの取り出し方の数)
　　　　　　　　　/ (9枚のカード４回の取り出し方の数)
と計算しています。分子を数え上げるとき、
a1 < a2 < a3 < a4 となるカードの取り出し方の数 は
9枚のカードから4枚抜き出して小さい順に並べることによって
9枚のカードから4枚取り出す場合の数 と一対一に対応しています。

質問の「順番を考慮する必要はない」は、
分子が 9P4 じゃなく 9C4 だよという話をしているわけです。
順番を考慮しないどころか、順番を小さい順に固定しているから
この方法で数え上げられるんです。
言いたいことは解るけれど、文章が酷くマズかったですよね。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/07/12 16:29

>異なる4枚を引いた組合わせで、順番を考慮する必要はない

正しいです。

・昇順のみを残す
・順番が違っても同一とみなす

これは同じことです。

例えば 1,2,3, 4 から3個取り出す場合
昇順のみ、(1,2, 3) (1,2, 4) (1,3, 4) (2, 3, 4)
順番では区別しない　
(1, 2, 3)＝(1,3,2)=(2,1,3)=(2,3,1)=(3,1,2) =(3,2,1)
(1, 2, 4)＝(1,4,2)=(2,1,4)=(2,4,1)=(4,1,2) =(3,2,1)
(1, 3, 4)＝(1,4,3)=(3,1,4)=(3,4,1)=(4,1,3) =(4,2,1)
(2, 3, 4)＝(2,4,3)=(3,2,4)=(3,4,2)=(4,2,3) =(4,3,2)

つまり、昇順は順番で区別しないものの「代表」にできるのです。

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2021/07/12 16:06

おそらく解説で説明したかったのは、１～９でも、１～１００でも、確率は変わらないということを説明したかったのではと想像します。

問題の本質が「重複のない任意の４つの数字が並んでいて、順にa1,a2,a3,a4とした場合にa1<a2<a3<a4となる確率」であるということではと思います。
ちなみに解答は
(1/4×1/3×1/2×1/1)=1/24
のはずです。

この手の問題で真正面から解こうと考えるとついつい
最初に１を引いた場合は・・・・
最初に２を引いた場合は・・・・
などなど場合わけして考えてしまいそうになるのですが・・・・

たとえば、順番に関係なく１６８９の４枚が引かれたとすれば、この４枚の並び順が１６８９の順になる確率を求めれば良いということです。
これは１２３４の４枚が１２３４の並び順になる確率と同じです。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/07/12 16:02

>順番を考慮する必要はない

というのは、その組み合わせで
a1＜a2＜a3＜a4
となるのは1パターンしかないという意味です。

No.1 回答者： 科学の真実 回答日時： 2021/07/12 15:48

問題文に「カードに書かれた番号を取り出した順にa1、a2、a3、a4 とする」とあるのだから、当然、順番を考慮して順にa1、a2、a3、a4とするので、解説の「順番を考慮する必要はない」 との記述とは矛盾します。