（2）について、解答でx≦1で場合分けしてるんですが、なぜでしょうか

（2）について、解答でx≦1で場合分けしてるんですが、なぜでしょうか

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/15 13:56

１　を解いてみましたが

-1<a<2でしょうかね　たぶん・・・

これが場合わけの理由ですよ！

（２）接線Laの式を
f(a,x,y)=a²-2xa+y=0…①と書き表すのがこの種の問題でのセオリーです
つまり、3文字の方程式とみてあげるわけです
そして、今回はこの3文字方程式がaの2次関数である（x,yは定数的な文字である）
とみてあげるのがポイントです
すると　例えばa=１のとき　①より
1-2x+y=0
これを満たす(x,y)のくみ　⇔1-2x+y=0上の点(x,y)はLaが通る領域をの一部です

例をふまえて　このaの2次方程式が-1<a<2の範囲に　実数解をもつような(x,y)の組をすべて調べあげて図面にプロットすると　これはLaが通る領域です
ですから、その裏を突けば　それはLaが通らない(x,y)の組⇔求めるべき領域Dです
すなわち、aの2次方程式①が-1<a＜２の範囲に実数解を持たないような条件を調べて図示すればそれがD
ここで　x,yは定数とみて
g(a)＝a²-2xa+y…②　おくと
g(a)=(a-x)²-x²+y(・・・aの2次関数　頂点は(x,-x²+y)）
<ここで縦軸g(a) 横軸aのグラフを書いてあげると分かりやすくなる>
aの範囲が-1<a<2なのだから
・この範囲に含まれない左側　に頂点があるときを考えるなら
②の軸≦-1 すなわちx≦-1ですし
・この範囲内に頂点が含まれるなら
-1<②の軸<2 すなわち-1<x<2ですし
もう一つの場合わけも必要になることが分かるでしょう・・・（ご自分で考えてみて）

で、x≦ー１のヴァージョンの②のグラフを適当に書いてみます（頂点が-1<a<2の左側に来るように）
このグラフが-1<a<2の範囲で横軸（a軸）をまたぐと　aはこの範囲に実数解をもつことになるので　そうならないような条件を調べます
すると、それはg(-1)≧０　（これなら　-1<a<2ではグラフはa軸上部に来て
この範囲で横軸をまたぎませんよね）
または　g(2)≦０
となります

このような理由で場合いわけがなされてますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/07/15 17:07

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 16:44

＞ 解答を見ると1との大小ではなく-1との大小で場合分けしていましたが

ほらね。そうでしょう？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 15:38

la の式は y = (2a)(x - a) + a² と書ける。

　←[2]
la が点 (x,y) を通るとは、
[2] によって x,y に対応する a の値が存在すること。
つまり、 [2] を a についての方程式と見て
(1) の答え -1 < a < 2 の範囲に解があること。

...というわけで、 (2) は二次方程式の解の配置問題なのだった。
二次方程式として整理すると、[2] は
f(a) := a² - (2x)a + y = 0 と書ける。
解の配置問題や二次関数の最大最小値問題は、
f(a) の軸 a = x と区間 -1 < a < 2 の位置関係で場合分け
するのがセオリーであって、
x と -1, (-1 + 2)/2, 2 の大小で場合分けすることになる。
x と 1 との大小での場合分けは、必要無い。

この回答へのお礼

解答を見ると1との大小ではなく-1との大小で場合分けしていましたが、
-1,1/2,2の大小ではなく-1,2の大小でばないでしょうか

お礼日時：2021/07/15 16:07

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/15 13:26

まだ　締め切らないで

いま解説文書いてます

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/15 10:05

不等式

　y > -x^2 + 2x - 5 = -(x - 1)^2 - 4
の軸が x=1 なので、その「右側」と「左側」で分けて考えるためでは？