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『実数xについて、x┃x+1┃=¼を解きなさい』の解き方を教えて下さい

A 回答 (3件)

絶対値記号の付いた式は 記号内が 正と負の場合に分るのが普通です。


しかし この式では、右辺 1/4>0 ですから, 左辺の x>0 。
当然 x+1>0 となりますから x+1<0 の場合を 考慮する必要がありません。

x|x+1|=1/4 → x(x+1)=1/4 → 4x²+4x-1=0 。
→ 4x²+4x+1-2=0 → (2x+1)²=2 → 2x+1=±√2 。
問題の条件から x>0 ですから x=(-1+√2)/2 。
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もっと簡単。


x┃x+1┃=¼ だから、右辺は正だから、左辺も正。すると x>0 は自明。
すると
x(x+1)=1/4 → x²+x-1/4=0 → x={-1±√(1+1)}/2 → x={-1±√2}/2

すると、一方は負だから、解は
x={-1+√2}/2
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方程式から絶対値記号を消すために、


x+1 ≧ 0 と x+1 < 0 で場合分けする。

x|x+1| = 1/4
⇔ (x+1 ≧ 0 かつ x(x+1) = 1/4) または (x+1 < 0 かつ x(-(x+1)) = 1/4)
⇔ (x ≧ -1 かつ 4x²+4x-1 = 0) または (x < -1 かつ 4x²+4x+1 = 0).

4x²+4x-1 = 0 ⇔ x = (-1±√2)/2,
4x²+4x+1 = 0 ⇔ x = -1/2
なので、結局

x|x+1| = 1/4
⇔ (x ≧ -1 かつ x = (-1±√2)/2) または (x < -1 かつ x = -1/2)
⇔ (x = (-1+√2)/2) または (偽)
⇔ x = (-1+√2)/2.

解はひとつだけになります。
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