わけあって、sin(x^2)が周期関数ではない理由について個人的に色々と考えて証明を試みたのですが、あっているでしょうか?
sin(x^2)が周期関数だとすると、
lim[t→∞]∫[0→t]sin(x^2)dx
は収束しないかあるいは0である。
しかし、よく知られているように
∫[0→∞]sin(x^2)dx=√(π/8)
よってsin(x^2)は周期的ではない。
また、先ほどもう少し高校生向けのほうがよいのではというアドバイスもいただいた(気がする)ので、さらにひとつ考えてみました。もう少し簡単になりますでしょうか?
sin(x^2)の周期をT(≠0)とすると、任意の実数xで
sin((x+T)^2)-sin(x^2)=0
が成り立つはずである。x=0とすれば
sin(T^2)=0
となる。またx=(√2)Tとすれば
sin((√2+1)^2 T^2)=0
したがってある自然数m,nが存在して
T^2=mπ かつ (3+2√2)T^2=nπ
3+2√2が無理数なので、このようなことは起きそうにもない。
またさらに、以下のような証明も思いつきましたが、あっていますか?
sin(x^2)が周期的であれば、その導関数
2x cos(x^2)
も周期的なはずである。ところが、この導関数は有界ではない。
連続関数が周期的であれば有界のはずである。
したがってsin(x^2)は周期関数ではない。
他にも証明があれば教えて下さい。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複雑な三角関数の周期の求め方 2 2022/10/04 16:44
- 工学 周波数fで表現したフーリエ変換の対称性に関する質問です。 1 2022/09/14 12:27
- 数学 三角関数の和 4 2023/06/17 18:33
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 三角関数の範囲について ∫1/√(a²-x²)dxをx=a・sin(t)と置いて置換積分する時tの範 3 2022/05/05 04:13
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 単振り子とルンゲ・タック法 1 2022/07/15 00:05
- 数学 sin(45°-x)=sin(x+135°)が成り立つと思うのですが、 これを加法定理を使わずに(三 4 2023/05/25 12:34
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
2つの円の一部が重なった図
-
sinωTをTで積分。
-
数学I 1列目が問題です。 2列目...
-
sin1の1って一体・・・
-
周期の最小値?
-
数学 sin1/2は何を表しているの...
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
(sinθ)^2とsin^2θの違い
-
大学受験時のsin,log,lim,xの表記
-
三角関数の答えが1以上になるの...
-
これsin75°を求めよで答え √6+...
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
sinx=cosxの解き方。
-
『inv』って
-
『楕円球体の三重積分を極座標...
-
極限の問題
おすすめ情報