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f(t)=t^2-2i (iはi^2=-1をみたす)この方程式のときかたがわかりません。

A 回答 (4件)

f(t) = t^2-2i は、方程式じゃありません。


方程式 f(t) = 0 を解こうというのなら、
t^2-2i = 0
t^2 = 2i
t = (2i)^(1/2)
 = (2 (e^((π/2)i + 2nπi))^(1/2)
 = { 2^(1/2) }{ (e^((π/2)i))^(1/2) }{ (e^(2nπi))^(1/2) }
 = { 2^(1/2) }{ e^((π/4)i) }{ (e^(πi))^n }
 = { √2 }{ 1/√2 + i/√2 }{ ±1 }
 = ±(1 + i).

途中で使った i = e^((π/2)i + 2nπi) は
複素数 i の極形式表示で、n は任意の整数です。
極形式は、オイラーの公式 cosθ + i sinθ = e^(iθ)
から求められます。
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複素数平面を頭の中に思い描くと偏角(n+1/4)πでノルム√2の複素数が解になると判る。

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t²-2i=0だから、t²=2iを解けば良い訳。



tは複素数だからt=a+biと置ける。
∴(a+bi)²=2i

左辺を展開して整理すると
a²-b²+2abi=2i [但し、a,bは実数]

実部と虚部を比較すると
a²-b²=0 ①
ab=1 ②

①よりa=±b

(1)a=bの場合
②に代入してよりa²=1
∴a=b=±1

t=a+biと置いたから、t=±(1+i)

(2)a=-bの場合
②に代入してよりa²=-1
これを満たす実数aは存在しないから、この場合には解が出て来ない。

纏めると
t=±(1+i)
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これは方程式じゃ無いよ。


f(t)=t^2-2i と言ってるだけ。f(t)を具体的に定義してるだけ。

f(t)=t^2-2i =0とか、=aとかが要る。
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この回答へのお礼

あ、申し訳ございません。
=0の時、方程式を解きたいです。

お礼日時:2021/09/04 11:27

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