二次関数について

グラフ（特に二次関数）について質問です。グラフの平行移動の定義は次のうちどちらが正しいでしょうか？
・頂点が移動先のグラフの頂点で、かつ全体の形が変わらない
・グラフ全体の形が変わらず他の場所に移動している

色んなグラフをgeogebraで描いて遊んでいたのですが、y＝x^2とy＝bxのグラフを描いてbを動かした時に、頂点が頂点に写っていないように見えてそういえば平行移動の定義ってなんだろうと思いました。高校では二次関数の平行移動は頂点の移動ばかり調べていましたが…

質問者からの補足コメント

• 基本的に二次関数についての質問です。変な言葉付け足して申し訳ないです。回転、伸縮は加えなくて大丈夫です。ここはy＝ax^2+bx+cのbが回転や伸縮等に関わることは無いと勝手に判断して省略してしまいました。申し訳ないです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/10/09 15:42

• 皆様申し訳ないです。なぜこんなに自分の言いたいことが伝わってないのか不思議だったのですが、自分の質問文が間違っていました。y＝x^2とy＝x^2+bxのグラフを書いてbを変化させたの間違いです。このときx^2と見比べてbを増やすとグラフの右半分が上に引き伸ばされて左半分が下に伸ばされるように見えました。（説明下手で申し訳ないです）つまり、y＝x^2の頂点がy＝x^2+bx (b≠0)の頂点に写ったようには見えなかったのです。二次関数の平行移動の定義が「形を変えず位置を移動させること」ならbを動かした結果平行移動したといっても良さそうですが、「動かす前の二次関数のグラフの頂点が移動後の二次関数の頂点になっていること」という説明がされていることもあります。これではbを動かしたとき、見かけ上平行移動したように見えても点の動き方的には平行移動とは言えないとなります。ここが変だなと思いました。

    補足日時：2021/10/09 18:03

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/09 19:29

＞ y＝x^2とy＝x^2+bxのグラフを書いてbを変化させたの間違いです。

＞ このときx^2と見比べてbを増やすと
＞ グラフの右半分が上に引き伸ばされて左半分が下に伸ばされるように見えました。

それは単に見間違いです。
y＝x^2+bx は y＝(x+b/2)^2-(b^2/4) と書き換えられ、
y＝x^2 を平行移動した形をしています。
放物線が上や下に伸ばされるのは、y=ax^2+bx+c の
a の値が変化する場合(だけ)です。

グラフのパッと見だけで判断せず、
なるべく正確なグラフを紙に描いて
紙をずらして透かして重ね合わせてみましょう。
実際、あなたが感じたようにはなっていない
ことが確認できると思います。

No.5 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/10/09 19:52

添付は次の関数グラフです。

赤＝y=x^2+x　　　基本の曲線　最低点はx=-0.5,y=-0.25です。
橙＝y=10*x^2+x　曲がり具合が変わっています
青＝y=x^2+4x　　　最低点はx=-2,y=-4です。
緑＝y=x^2+x+10　上に10平行移動しています
青線が赤線の平行移動がどうかははっきりしませんので、
青点線＝y=(x-1.5)^2+4(x-1.5)を追加しました。
平行移動になっているようです。
y=ax^2+bxはy=ax^2(0,0を頂点とする放物線)とy=bx（0,0を通る傾きbの斜線）の合成ですから、「右半分(x>0)が上に引き伸ばされて左半分(x<0)が下に伸ばされる」ものです。
平行移動の定義は、回転せず、反転（裏返しせず）・縮小拡大せずの移動だと思いますが、№2でも書いてありますが、縦の移動はｙをｙ+aとし、横の平行移動はxをx+cとしたものと同じだと思います。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/10/09 16:22

y＝ax^2+bx+cを＋ｙ軸方向にｐ移動させると、ｘは変わらずｙはｐ増える

ので、
y＝ax^2+bx+c＋ｐ・・①
①を＋ｘ軸方向にｑ移動させると、ｙは変わらずｘはｑ増えるので
y＝a(x-q)^2+b(x-q)+c＋ｐ・・②
①でｘ＝０のとき、ｙ＝ｃ＋ｐ
➁でｘ＝ｑのとき、ｙ＝ｃ＋ｐ

・グラフ全体の形が変わらず他の場所に移動している
で良いと思います。

No.2 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/10/09 16:09

移動といった場合、数学的にどうかわかりませんが、色々ありますね。

おっしゃるとおりの平行移動・回転・裏返し（縦と横）・裏返しの回転など組み合わせもあります。
さて、平行移動ですが。縦の移動はｙをｙ+aとし、横の平行移動はxをx+cとしますよね。
y＝x^2の場合、とすれば、下にi、左にj移動するんじゃないでしょうか。
y＝bxの場合、y+i=とすれば、下にi、左にj移動するんじゃないでしょうか。
ご質問のy＝bxのbを動かすというのは、
y=(b+k)xというようなことでしょうから、直線の傾きが変わりますね。回転体です。しかしkをいくら大きくしても垂直にはならないでしょう。
垂直線はx=mなどの定数の式でしょうか。
二次関数の一般式y＝ax^2+bx+cについても同様だと思います。
y+i=(x+j)^2+b(x+j)+cとすれば、下にi、左にj移動するんじゃないでしょうか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/09 15:34

グラフが一次関数も二次関数も三角関数も含むものなら、「頂点」という概念はあり得ません。

下の「形が変わらず」は、回転や伸縮も「変わらない」という定義？

そもそも、議論の前提となる「定義」や「対象範囲」が不明確のまま「正しい、正しくない」を議論しても意味がありません。