【平方完成の問題です。 次の2次関数のグラフを書き、頂点と軸を求めよ。】 という問題ですが、やり方が

【平方完成の問題です。
次の2次関数のグラフを書き、頂点と軸を求めよ。】
という問題ですが、やり方がよく分かりません。

No.4 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2022/07/29 15:11

回り道します

2次関数の式は
y=ax^2+bx+c (^2は２乗のことで回答欄ではこのように表します)
平方完成した
y=a(x+d)^2+e(aは上の式と同じ値)
y=0とおいた2次方程式の解がα、βと分かっていたら
y=a(x-α)(x-β)(aは同じ値)
平方完成した式の
(x+d)=0となるx=-dが軸の方程式でy軸に平行,eは頂点のy座標なので頂点の座標は(-d,e)になります。
一番上の式が使いにくいのでグラフを描くには平方完成した式、xの範囲を閉区間としたときの関数の値の正負を求めるときには3番目の式が使えます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/28 09:35

「グラフを書き、頂点と軸を求めよ」というのは、おかしな問題ですね。

話の順番が逆で、正しくは、頂点と軸が判ればグラフが書けるんです。
出題者自身がちゃんと理解しているのかな？

ともあれ、頂点と軸を求めてみましょう。
二次関数を平方完成して、
y = -(1/3)x^2 - 2x - 2
　= -(1/3){ x^2 + 6x } - 2
　= -(1/3){ (x + 3)^2 - 3^2 } - 2
　= -(1/3)(x + 3)^2 + { (-1/3)(-3^2) - 2 }
　= -(1/3)(x - (-3))^2 + 1.

二次関数の式は y = (係数)(x - 軸)^2 + (頂点のy座標) ですから、
この式から 軸は -3, 頂点は (-3, 1) ですね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/28 01:11

No.1 です。

ああ、ごめん。よく見たら、最初に「マイナス」が付いていましたね。

問題の場合には
　y = -(1/3)x^2 - 2x - 2
　　= -(1/3)(x^2 + 6x) - 2
ですから、
　-2b = 6
なので
　b = -3
従って
　y = -(1/3)(x^2 + 6x + 9 - 9) - 2
　　= -(1/3)[(x + 3)^2 - 9] - 2
　　= -(1/3)(x + 3)^2 + 3 - 2
　　= -(1/3)(x + 3)^2 + 1

これは
・上に凸の放物線
・頂点は (-3, 1)
・軸は x=-3

あとは、何点か「通る点」を求めて放物線を引いてみればよい。
たとえば
　x=0 のとき y=-2 なので (0, -2) を通る。
　x=-6 のとき y=-2 なので (-6, -2) を通る。
　y=0 のとき (x + 3)^2 = 3 なので x=-3 ± √3
　　　よって、x 軸との交点は (0, -3 - √3), (0, -3 + √3)
など。
x=-1 や x=1 のときにどうなるか、自分でも計算してみてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/28 00:52

平方完成は理解しているのですか？

y = a(x - b)^2 + c
のように、x に関するものを「2乗（平方）」の中に閉じ込めるということです。

(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2
の関係をを使って、x の１次項の係数が「-2b」になることを使います。

問題の場合には
　y = (1/3)x^2 - 2x - 2
　　= (1/3)(x^2 - 6x) - 2
ですから、
　-2b = -6
なので
　b = 3
従って
　y = (1/3)(x^2 - 6x + 9 - 9) - 2
　　= (1/3)[(x - 3)^2 - 9] - 2
　　= (1/3)(x - 3)^2 - 3 - 2
　　= (1/3)(x - 3)^2 - 5

「本当？」と思ったら、これを展開してみて、元の式になるかどうかを確認してみればよいです。