フィボナッチ数列の性質、高校数学

画像の赤で囲った性質の証明に関して、一般項anを求めてそれから示そうとしたのですが、青字で書いた通り（）の部分が整数になることを示すのは大がかりすぎて、受験の答案には向かないと思いました。
簡単な方法はありませんでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/09 00:51

数列を Fn=F[n] とする。

F₁=F₂=1 だから

　F[mn]=F[mn-1]+F[mn-2]=F₂F[mn-1]+F₁F[mn-2]
　　=(F₁+F₂)F[mn-2]+F₂F[mn-3]
　　=F₃F[mn-2]+F₂F[mn-3]
　　=(F₂+F₃)F[mn-3]+F₃F[mn-4]
　　=F₄F[mn-3]+F₃F[mn-4]

・・・・上で、次数を落とし、4 → mn-n とすると

　　=F[mn-n]F[n+1]+F[mn-n-1]Fn

つぎに、F[mn-n]　について同様の手順を踏むと
　F[mn-n]=F[mn-2n]F[n+1]+F[mn-2n-1]Fn
つまり
　F[mn]=F[mn-2n]F[n+1]²+(F[n+1]F[mn-2n-1]+F[mn-n-1])Fn
　　　　=aF[mn-2n]+bFn (a,b はF[]の積和の多項式で整数)

同様に　F[mn-2n]　も同じ手順で次数を落としていけば
　F[mn]=a' F[mn-(m-1)n]+b' Fn (a',b' はF[]の積和の多項式で整数)
　　　　=a' F[n]+b' Fn=(a'+b')Fn
となる。

ゆえに　F[mn]はFnの倍数となる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なかなか大変なのですね。

お礼日時：2021/11/09 00:55

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/11/09 00:24

A+B と AB が整数であることがわかれば, 帰納法でいけるんじゃない?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/11/09 00:55