No.2ベストアンサー
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物理学的な放射性物質の崩壊数は、現存する放射性物質の量 N に「崩壊定数:λ」をかけたもの、つまり
dN/dt = -λN ①
と表わせる。
同様に、生物学的な体内の放射性物質の代謝による排出は、体内に存在する放射性物質の量 M に「排出定数:h」をかけたもの、つまり
dM/dt = -hM ②
と表わせる。
この相乗効果として、体内にある放射性物質の量 R の減少は、減衰定数を k として
dP/dt = -kP ③
として減少していく。
下記のサイトにもあるように、上記の微分方程式を解けば
①→ N = No * e^(-λ*t) (No:t=0 のときの初期値)
②→ M = Mo * e^(-h*t) (Mo:t=0 のときの初期値)
③→ P = Po * e^(-k*t) (Po:t=0 のときの初期値)
となる。
ここで、③は①②の相乗効果(重ね合わせ)なので
P = Po * e^(-λ*t) * e^(-h*t) = Po * e^[-(λ + h)*t]
と書けるので
k = λ + h ④
ということになる。
↓ 半減期
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B …
各々の半減期とは、No → (1/2)No, Mo → (1/2)Mo, Po → (1/2)Po になる時間なので
・P の半減期:Teff
・N の半減期:Ta
・M の半減期:Tb
と書けば
e^(-λ*Ta) = 1/2
→ -λ*Ta = log(1/2) = -log(2)
→ λ = log(2) /Ta ⑤
という関係になる。(log は自然対数)
同様に
h = log(2) /Tb ⑥
λ*h = log(2) /Teff ⑦
⑤⑥⑦を④に代入すれば
log(2) / Teff = log(2) /Ta + log(2) /Tb
→ 1/Teff = 1/Ta + 1/Tb
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