楕円軌道の問題
半径Rの地球から、地球の中心から距離3Rの円軌道に人工衛星を2段階操作で打ち上げる。
まず、地球を1つの焦点として点Pで地表に、点Qで半径3Rの円軌道に接する楕円軌道に乗せ
次に、点Qで円軌道に移行させる。地表での重力加速度の大きさをgとする。
楕円軌道上を動くとき点Pの速さVP、点Qの速さVQで
面積速度一定の法則から式を作れ
答:1/2×R×VP = 1/2×R×VQ
楕円軌道を動くときの点Pでの速さをVP、点Qでの速さをVQとして
P点、Q点の力学的エネルギーが等しいという関係式を作れ
人工衛星質量m、地球質量M、万有引力定数G
答:1/2mVP2(2乗)ーG×(mM/R) = 1/2mVQ2(2乗)ーG×(mM/3R)
---以下、質問
楕円軌道を動くときの点Pでの速さをVPと点Qでの速さをVQを求めろ
答は、VP=3√(gR/6) VQ=√(gR/6) となるがどういう計算でしょうか?
公式の中で、GR=gR2(2乗)があるがつかいますでしょうか?
以上
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
>面積速度一定の法則から式を作れ
> 答:1/2×R×VP = 1/2×R×VQ
これじゃあ
VP = VQ
になってしまうので
(1/2) × R × VP = (1/2) × 3R × VQ ①
ですね?
>P点、Q点の力学的エネルギーが等しいという関係式
力学的エネルギー保存から、「運動エネルギー + 位置エネルギー」が等しくなるので、位置エネルギーが「マイナス」であることから
(1/2)m(VP)^2 - GmM/R = (1/2)m(VQ)^2 - GmM/(3R) ②
半径が R (つまり地表面)のときの重力加速度が g ですから
F = mg = GmM/R^2
つまり
g = GM/R^2
→ GM = gR^2 ③
です。
質問者さんの書かれている
>公式の中で、GR=gR2(2乗)があるが
は多分間違いでしょう。
問題は、①と②の連立方程式から、未知数の VP と VQ を求める作業になります。
①より
VP = 3VQ ④
なので、これを②に代入して
(1/2)m(3VQ)^2 - GmM/R = (1/2)m(VQ)^2 - GmM/(3R)
→ 4(VQ)^2 = (2/3)GM/R
→ (VQ)^2 = (1/6)GM/R
ここで③を使って
(VQ)^2 = (1/6)gR^2 /R = (1/6)gR
よって
VQ = √(gR/6)
④より
VP = 3√(gR/6)
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