高校数学 二次関数の最小値（絶対値記号あり）

aを正の定数とするとき、―2≦x≦1における、f(x)=x|x|-axの最小値を求めよ

という問題があるのですが、どのような場合分けをすればよいですか？(とりあえずグラフは書けましした。)

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/01 12:41

a ≦ 0 の時は f は単調増加なので f(-2)が最小

0 ≦ a ≦ 2 の時は、0 ≦ x ≦ 2 に現れる極小と　f(-2)のどちらかが最小。
2 ≦ a の時は f(-2), f(1) の小さいほうが最小。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/31 18:05

せっかく描いたグラフをじっくり眺めるだけで分かるんじゃないかな。

aが巨大な時は、x=1で最小値f(1)になる。ここからaを小さくして行ったと考えれば、a/2=1になるまではx=1で最小値f(1)を取る。ここを境に、さらにaを小さくしていくとx=a/2で最小値f(a/2)になる。さらにaを小さくして行ってf(-2)≦f(a/2)となると、以降はずっとf(-2)が最小。ということです。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/31 15:24

No.3 です。

さらにまだ誤植が残っていましたね。

再度、全文訂正して再掲します。

「絶対値」は、中身が「正か負かゼロか」で場合分けして外すのが定石であり鉄則です。

A>0 のとき |A|=A
A<0 のとき |A|=-A (>0)
A=0 のとき |A|=A=-A (=0)
ですから。(A=0 のときは両方成り立つので、上の2つのどちらかに含めればよい）

これでやってみれば、絶対値は |x| なので

(i) x≧0 のとき |x|=x なので
　f(x) = x^2 - ax = (x - a/2)^2 - (a^2)/4　　　①
従って、y=f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a/2, -(a^2)/4)
・軸は x=a/2

(ii) x<0 のとき |x|=-x なので
　f(x) = -x^2 - ax = -(x + a/2)^2 + (a^2)/4　　　②
従って、y=f(x) のグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (-a/2, (a^2)/4)
・軸は x=-a/2

境界点である x=0 のときには f(0) = 0 でつながるので、グラフは質問者さんが書かれたようになります。

あとは、このグラフと「-2≦x≦1」という定義域との関係から、「最大、最小」を求めることになります。
そのためには、a の値によって
頂点がこの定義域に含まれるか
　→　(a)含まれれば、頂点と端点（x=-2, 1 のときの値）との比較で、最大・最小を判断する。
　→　(b)含まれなければ、端点は2つの頂点の間ということなのだから、x=-2 で最大、x=1 で最小と決まる。

さらに (a) の中には
(a-1) 両方の頂点が含まれる
(a-2) 一方の頂点だけが含まれる
という場合分けが必要です。

これらをきちんと整理して場合分けしましょう。

(a-1) 頂点が２つとも定義域に含まれる場合：
　x=1 の方が原点に近いので、(i) の軸 x=a/2 が
　　a/2 ≦ 1　つまり　(0<) a ≦ 2　　　③
であれば、そうなります。

そのとき、(ii) の頂点と、(i) の x=1 の端点のどちらが大きいか？
①より
　f(1) = 1 - a
(ii) の頂点の y 座標は (a^2)/4 なので、頂点の方が大きくなるのは
　(a^2)/4 - (1 - a) ≧ 0
より
　a^2 + 4a - 4 ≧ 0
ここで
　a^2 + 4a - 4 = 0
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -2 ± √(4 + 4) = -2 ± 2√2
a>0 なので
　a = -2 + 2√2

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき (i) の x=1 の端点の方が大きい
　-2 + 2√2 < a ≦2 のとき (ii) の頂点の方が大きい
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき、最大値は 1 - a
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、最大値は (a^2)/4

同様に、(i) の頂点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
②より
　f(-2) = 2a - 4
(i) の頂点の y 座標は -(a^2)/4 なので、頂点の方が小さくなるのは
　-(a^2)/4 - (2a - 4) ≦ 0
より
　a^2 + 8a - 16 ≧ 0
ここで　
　a^2 + 8a - 16 = 0
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -4 ± √(16 + 16) = -4 ± 4√2
a>0 なので
　a = -4 + 4√2

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき (ii) の x=-2 の端点の方が小さい
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき (i) の頂点の方が小さい
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、最小値は 2a - 4 　　　　　　　←再訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、最小値は -(a^2)/4

(a-2) 頂点の一方だけが定義域に含まれる場合：
(i) の頂点は含まれない、つまり軸 x=a/2 が
　　a/2 > 1　つまり　2<a
かつ (ii) の頂点は含まれる、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 ≧ -2　つまり　a≦4
であれば、そうなります。
つまり
　2<a≦4　　　　　④

そのとき、最大が (ii) の頂点となることは明らかです。
従って、最大値は (a^2)/4。

一方、最小値は、(i) の x=1 の端点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
(i) の x=1 の端点では
　f(1) = 1 - a
(ii) の x=-2 の端点では
　f(-2) = 2a - 4

x=1 の端点の方が小さくなる条件は
　(1 - a) - (2a - 4) = -3a + 5 < 0
→　5/3 < a

つまり④の条件であれば、常にx=1 の端点の方が小さいことになります。
従って、
　2<a≦4 のとき、最小値は 1 - a

(b) 頂点が２つとも定義域に含まれない場合：
(ii) の頂点が含まれない、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 < -2　つまり　4<a
であれば、そうなります。

このときには、
x=-2 で最大、x=1 で最小になります。
つまり
最大値は 2a - 4　　　　　　　←再訂正！
最小値は 1 - a


以上をまとめると「最小値」は
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、 2a - 4 　　　　　　　←再訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、 -(a^2)/4
　2<a≦4 のとき、 1 - a
　4<a のとき、 1 - a

これをさらに整理して
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、 2a - 4 　　　　　　　←再訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、 -(a^2)/4
　2<a のとき、 1 - a

求められているのは「最小値」ですが、プロセスでは「最大値」も併せて確認してみました。
「最小値」だけでよければ、
(i) の頂点を含むかどうか、含む場合は x=-2 の端点との大小比較
だけで済みます。


再訂正ついでに、最大値についても書けば、「最大値」は
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき、 1 - a
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、 (a^2)/4
　2<a≦4 のとき、 (a^2)/4
　4<a のとき、 2a - 4

これをさらに整理して
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき、 1 - a
　-2 + 2√2 < a ≦4 のとき、 (a^2)/4
　4<a のとき、 2a - 4

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/31 13:16

No.2 です。

あらら、慌ててやったらやはりポカしていますね。

全文訂正して再掲します。

「絶対値」は、中身が「正か負かゼロか」で場合分けして外すのが定石であり鉄則です。

A>0 のとき |A|=A
A<0 のとき |A|=-A (>0)
A=0 のとき |A|=A=-A (=0)
ですから。(A=0 のときは両方成り立つので、上の2つのどちらかに含めればよい）

これでやってみれば、絶対値は |x| なので

(i) x≧0 のとき |x|=x なので
　f(x) = x^2 - ax = (x - a/2)^2 - (a^2)/4　　　①
従って、y=f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a/2, -(a^2)/4)
・軸は x=a/2

(ii) x<0 のとき |x|=-x なので
　f(x) = -x^2 - ax = -(x + a/2)^2 + (a^2)/4　　　②
従って、y=f(x) のグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (-a/2, (a^2)/4)
・軸は x=-a/2

境界点である x=0 のときには f(0) = 0 でつながるので、グラフは質問者さんが書かれたようになります。

あとは、このグラフと「-2≦x≦1」という定義域との関係から、「最大、最小」を求めることになります。
そのためには、a の値によって
頂点がこの定義域に含まれるか
　→　(a)含まれれば、頂点と端点（x=-2, 1 のときの値）との比較で、最大・最小を判断する。
　→　(b)含まれなければ、端点は2つの頂点の間ということなのだから、x=-2 で最大、x=1 で最小と決まる。

さらに (a) の中には
(a-1) 両方の頂点が含まれる
(a-2) 一方の頂点だけが含まれる
という場合分けが必要です。

これらをきちんと整理して場合分けしましょう。

(a-1) 頂点が２つとも定義域に含まれる場合：
　x=1 の方が原点に近いので、(i) の軸 x=a/2 が
　　a/2 ≦ 1　つまり　(0<) a ≦ 2　　　③
であれば、そうなります。

そのとき、(ii) の頂点と、(i) の x=1 の端点のどちらが大きいか？
①より
　f(1) = 1 - a
(ii) の頂点の y 座標は (a^2)/4 なので、頂点の方が大きくなるのは
　(a^2)/4 - (1 - a) ≧ 0
より
　a^2 + 4a - 4 ≧ 0
ここで
　a^2 + 4a - 4 = 0
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -2 ± √(4 + 4) = -2 ± 2√2
a>0 なので
　a = -2 + 2√2

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき (i) の x=1 の端点の方が大きい
　-2 + 2√2 < a ≦2 のとき (ii) の頂点の方が大きい
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき、最大値は 1 - a
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、最大値は (a^2)/4

同様に、(i) の頂点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
②より
　f(-2) = 2a - 4　　　　　　　←訂正！
(i) の頂点の y 座標は -(a^2)/4 なので、頂点の方が小さくなるのは
　-(a^2)/4 - (2a - 4) ≦ 0　　　　　　　←訂正！
より
　a^2 + 8a - 16 ≧ 0　　　　　　　←訂正！
ここで　
　a^2 + 8a - 16 = 0　　　　　　　←訂正！
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -4 ± √(16 + 16) = -4 ± 4√2　　　　　　　←訂正！
a>0 なので
　a = -4 + 4√2　　　　　　←訂正！

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき (ii) の x=-2 の端点の方が小さい　　　←訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき (i) の頂点の方が小さい　　　　　　　←訂正！
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、最小値は a - 4 　　　　　　　←訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、最小値は -(a^2)/4　　　　　　←訂正！

(a-2) 頂点の一方だけが定義域に含まれる場合：
(i) の頂点は含まれない、つまり軸 x=a/2 が
　　a/2 > 1　つまり　2<a
かつ (ii) の頂点は含まれる、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 ≧ -2　つまり　a≦4
であれば、そうなります。
つまり
　2<a≦4　　　　　④

そのとき、最大が (ii) の頂点となることは明らかです。
従って、最大値は (a^2)/4。

一方、最小値は、(i) の x=1 の端点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
(i) の x=1 の端点では
　f(1) = 1 - a
(ii) の x=-2 の端点では
　f(-2) = 2a - 4　　　　　　←訂正！

x=1 の端点の方が小さくなる条件は
　(1 - a) - (2a - 4) = -3a + 5 < 0　　　　　　←訂正！
→　5/3 < a

つまり④の条件であれば、常にx=1 の端点の方が小さいことになります。　　　←訂正！
従って、
　2<a≦4 のとき、最小値は 1 - a　　　　　　←訂正！

(b) 頂点が２つとも定義域に含まれない場合：
(ii) の頂点が含まれない、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 < -2　つまり　4<a
であれば、そうなります。

このときには、
x=-2 で最大、x=1 で最小になります。
つまり
最大値は a - 4
最小値は 1 - a


以上をまとめると「最小値」は
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、 a - 4 　　　　　　　←訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、 -(a^2)/4　　　　　　←訂正！
　2<a≦4 のとき、 1 - a　　　　　　←訂正！
　4<a のとき、 1 - a

これをさらに整理して
　0 < a ≦ -4 + 4√2 のとき、 a - 4 　　　　　　　←訂正！
　-4 + 4√2 < a ≦ 2 のとき、 -(a^2)/4　　　　　　←訂正！
　2<a のとき、 1 - a　　　　　　←訂正！

求められているのは「最小値」ですが、プロセスでは「最大値」も併せて確認してみました。
「最小値」だけでよければ、
(i) の頂点を含むかどうか、含む場合は x=-2 の端点との大小比較
だけで済みます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/31 10:55

「絶対値」は、中身が「正か負かゼロか」で場合分けして外すのが定石であり鉄則です。

A>0 のとき |A|=A
A<0 のとき |A|=-A (>0)
A=0 のとき |A|=A=-A (=0)
ですから。(A=0 のときは両方成り立つので、上の2つのどちらかに含めればよい）

これでやってみれば、絶対値は |x| なので

(i) x≧0 のとき |x|=x なので
　f(x) = x^2 - ax = (x - a/2)^2 - (a^2)/4　　　①
従って、y=f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a/2, -(a^2)/4)
・軸は x=a/2

(ii) x<0 のとき |x|=-x なので
　f(x) = -x^2 - ax = -(x + a/2)^2 + (a^2)/4　　　②
従って、y=f(x) のグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (-a/2, (a^2)/4)
・軸は x=-a/2

境界点である x=0 のときには f(0) = 0 でつながるので、グラフは質問者さんが書かれたようになります。

あとは、このグラフと「-2≦x≦1」という定義域との関係から、「最大、最小」を求めることになります。
そのためには、a の値によって
頂点がこの定義域に含まれるか
　→　(a)含まれれば、頂点と端点（x=-2, 1 のときの値）との比較で、最大・最小を判断する。
　→　(b)含まれなければ、端点は2つの頂点の間ということなのだから、x=-2 で最大、x=1 で最小と決まる。

さらに (a) の中には「一方の頂点だけが含まれる」という場合もあります。

これらをきちんと整理して場合分けしましょう。

(a-1) 頂点が２つとも定義域に含まれる場合：
　x=1 の方が原点に近いので、(i) の軸 x=a/2 が
　　a/2 ≦ 1　つまり　(0<) a ≦ 2　　　③
であれば、そうなります。

そのとき、(ii) の頂点と、(i) の x=1 の端点のどちらが大きいか？
①より
　f(1) = 1 - a
(ii) の頂点の y 座標は (a^2)/4 なので、頂点の方が大きくなるのは
　(a^2)/4 - (1 - a) ≧ 0
より
　a^2 + 4a - 4 ≧ 0
ここで
　a^2 + 4a - 4 = 0
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -2 ± √(4 + 4) = -2 ± 2√2
a>0 なので
　a = -2 + 2√2

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき (i) の x=1 の端点の方が大きい
　-2 + 2√2 < a ≦2 のとき (ii) の頂点の方が大きい
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -2 + 2√2 のとき、最大値は 1 - a
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、最大値は (a^2)/4

同様に、(i) の頂点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
②より
　f(-2) = a - 4
(i) の頂点の y 座標は -(a^2)/4 なので、頂点の方が小さくなるのは
　-(a^2)/4 - (a - 4) ≦ 0
より
　a^2 + 4a - 16 ≦ 0
ここで
　a^2 + 4a - 16 = 0
となるのは、二次方程式の一般解から
　a = -2 ± √(4 + 16) = -2 ± 2√5
a>0 なので
　a = -2 + 2√5

③の条件との組合せで
　0 < a ≦ -2 + 2√5 のとき (i) の頂点の方が小さい
　-2 + 2√5 < a ≦ 2 のとき (ii) の x=-2 の端点の方が小さい
ということになります。
つまり
　0 < a ≦ -2 + 2√5 のとき、最小値は -(a^2)/4
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、最小値は a - 4

(a-2) 頂点の一方だけが定義域に含まれる場合：
(i) の頂点は含まれない、つまり軸 x=a/2 が
　　a/2 > 1　つまり　2<a
かつ (ii) の頂点は含まれる、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 ≧ -2　つまり　a≦4
であれば、そうなります。
つまり
　2<a≦4　　　　　④

そのとき、最大が (ii) の頂点となることは明らかです。
従って、最大値は (a^2)/4。

一方、最小値は、(i) の x=1 の端点と、(ii) の x=-2 の端点のどちらが小さいか？
(i) の x=1 の端点では
　f(1) = 1 - a
(ii) の x=-2 の端点では
　f(-2) = a - 4

x=1 の端点の方が小さくなる条件は
　(1 - a) - (a - 4) = -2a + 5 < 0
→　5/2 < a

④の条件との組合せで
　2 < a ≦ 5/2 のとき x=-2 の端点の方が小さい
　5/2 < a ≦4 のとき x=1 の端点の方が小さい
ということになります。
つまり
　2 < a ≦ 5/2 のとき、最小値は a - 4
　5/2 < a ≦4 のとき、最小値は 1 - a

(b) 頂点が２つとも定義域に含まれない場合：
(ii) の頂点が含まれない、つまり軸 x=-a/2 が
　　-a/2 < -2　つまり　4<a
であれば、そうなります。

このときには、
x=-2 で最大、x=1 で最小になります。
つまり
最大値は a - 4
最小値は 1 - a


以上をまとめると「最小値」は
　0 < a ≦ -2 + 2√5 のとき、 -(a^2)/4
　-2 + 2√2 < a ≦ 2 のとき、 a - 4
　2 < a ≦ 5/2 のとき、 a - 4
　5/2 < a ≦4 のとき、 1 - a
　4<a のとき、 1 - a

これをさらに整理して
　0 < a ≦ -2 + 2√5 のとき、 -(a^2)/4
　-2 + 2√2 < a ≦ 5/2 のとき、 a - 4
　5/2 < a のとき、 1 - a


求められているのは「最小値」ですが、プロセスでは「最大値」も併せて確認してみました。
「最小値」だけでよければ、
(i) の頂点を含むかどうか、含む場合は x=-2 の端点との大小比較
だけで済みます。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/12/31 10:21

グラフは理解されているようですね（細かい数値は計算してませんが・・・）

そしたら、定義域も書き込みます（x=-2とx=1の位置に縦線を書く
　この2本に挟まれた部分が有効範囲です）

そしたら、aの値を変化させてグラフの変化の様子をみます
今回は変則的に楽なa>2からみてみますと
グラフ右の頂点は有効範囲外になるので　グラフの最も低い部分は有効範囲の右端、すなわちx=1でyは最小が明らかです（xがマイナスの部分はy座標が明らかにプラスですから）

次にaを2から徐々に０に近づけてみます
すると有効範囲右側のグラフの低い部分は右側頂点
有効範囲左側のグラフの低い部分はx=-2ですので
これらを比較します
aが２に近いうちは右側頂点の方が低くこれが最小
しかし、aが０に近づくにつれてこれが逆転してx=-2の方が右側頂点より低くなり最小となるようなので
x=-2のときのy座標と
x=2/aのときのy座標がひとしくなるようなaが場合分けの境目ということになります（言うまでもなくaの境目は2未満)
x=-2では　y=-4+2a
右側頂点は　y=-a²/4ですから
-4+2a=-a²/4を解いて　その解のうち2未満のaで場合分けということになりそうです
（起きたばかりなので抜けがあったら申し訳ない・・・）