式の変換に関する質問です。 fはフェルミ分布関数で -df/dε=β/([exp(βξ)+1][1+

式の変換に関する質問です。
fはフェルミ分布関数で
-df/dε=β/([exp(βξ)+1][1+exp(-βξ)])
ただし、ξ=ε- μ である。

∫[-∞→∞]ξ^2(-∂f/∂ξ)dξ=4∫[0→∞]ξ/[exp(βξ)+1]dξ
となると参考書に書いてあるのですが、どう変形したのでしょうか。被積分関数が偶関数なので2倍して積分区間が[0→∞]となるのは分かるのですが、、、
ご教示いただければ幸いです。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/01/11 18:16

単純に部分積分法を使っているだけ。

偶関数だから
∫[-∞→∞]ξ^2(-∂f/∂ξ)dξ=2∫[0→∞]ξ^2(-∂f/∂ξ)dξ
部分積分法によって
∫[0→∞]ξ^2(-∂f/∂ξ)dξ＝[ξ＝0→ξ＝∞][－ξ^2f(ξ)］
　　　　　　　　　　　　　＋∫[0→∞]2ξf(ξ)dξ
ｆ(ξ)＝1/(1+exp(βξ))なのだから上の式の右辺第一項は０
したがって表題の結果がすぐに出ます。

No.2 回答者： drmuraberg 回答日時： 2022/01/09 23:13

次の積分の等式が成立する事を確認してください。

∫[-∞→∞]ｘ^n*exp(x)/(exp(x)+1)^2*dx =
-2∫[0→∞]ｘ^n*｛d(1/(exp(x)+1))/dx｝*dx

確認できたら、更に右辺が
=2n∫[0→∞]｛ｘ^(n-1)/(exp(x)+1)｝*dx
＝2n∫[0→∞]｛ｘ^(n-1)*exp(-x)/(1+exp(-x)｝*dx
となるのを確認してください。

1/(exp(x)+1)　を係数βを考慮したフェルミ分布関数で
書換れば、ご質問の結果になるはずです。