量子力学「なぜ固有関数が完全直交関数系で展開できるのか」

『量子力学（Ⅰ）/小出昭一郎　装華房』のP.163に、
固有関数φn は完全直交関数系Uiを用い φn=ΣCiUi のように
展開できるとの記述があるのですが、これはなぜなのでしょうか？
どういうことなのか意味が分からずにいます。
（これまで、てっきり私は、波動関数がΨが
Ψ=ΣCiφi = ΣCiUi のように完全直交関数系で展開されるものと思っていました）
例えばですが、調和振動子の場合だと、基底状態のφ0は完全直交関数系Uiを用いて
どのように展開できるのでしょうか？

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2022/01/23 16:22

> 本では「固有関数自体」が直交系で展開されるとあり、

>その点がわからずにいます。
「uたちが完全直交関数系」だから、で説明になってないのなら
言葉の定義とくに「完全」の定義を調べて下さい。




言葉の定義が分かってないだけなのか、線型代数と量子力学の対応が分かってないのか判断できませんが、いずれにしても線型代数の教科書を読み直した方がいいかなと。

線型代数の言葉で言えば、貴方が聞いているのは

2種類の基底<U1,…,Un>と<φ1,…,φn>があった時、
各φiをUたちの線型結合で表せる理由は？
ベクトルψをそれぞれの基底で表した時の成分は異なるのか？

のような事。
これが分からな状態だとすれば、基底に関する話以外についても忘れている事はあると思うので。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2022/01/23 16:18

関数ベクトルは、

∫Ui(r)Ui(r)dr=1
∫Ui(r)Uj(r)dr=0
を満たせば完全直交関数です。
このUiが無限個ある系で、任意の関数 φn=ΣCiUi のように
展開できるということです。
フーレイ変換の特殊な場合に相当します。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/01/23 13:19

最も簡単に言うと、3次元の位置ベクトルRは完全直交関数系ｘ、ｙ、ｚ

で表せるということです。
R＝a₁ｘ＋a₂ｙ＋a₃z (a₁、a₂、a₃は実数）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
その点は理解しています。

お礼日時：2022/01/23 14:06

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2022/01/23 07:50

>φn=ΣCiUi のように

>展開できるとの記述がある

>波動関数がΨが
>Ψ=ΣCiφi = ΣCiUi のように完全直交関数系で展開されるものと思っていました

本の記述と貴方の認識は何が違うのでしょう？
φiで展開した時の係数とUiで展開した時の係数は共通だと思ってたのですか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>本の記述と貴方の認識は何が違うのでしょう？

本では「固有関数自体」が直交系で展開されるとあり、
その点がわからずにいます。
これまでの私の理解は、観測前の波動関数が固有関数（や完全直交系）
で展開される、というものでした。

>φiで展開した時の係数とUiで展開した時の係数は共通だと思ってたのですか？

共通だと思っていましたが、その辺が間違っているのでしょうか？

お礼日時：2022/01/23 14:05