数学の宿題がわかりません。

3けたの整数の中で、各位の数がすべて異なり、
どの2つの数字の和も10にならないような数は全部で何個ありますか。

誰か回答宜しくお願いします。

No.2 回答者： harukawa-kamoi 回答日時： 2022/02/18 12:19

解き方の流れとしては

①0~9の10の数字の中で異なる3つの数を選ぶ組み合わせを考える。
　(「各位の数がすべて異なり」の部分をクリアする。)
② ①の組み合わせの中から、どれか2つの数字の和が10になってしまう組み合わせを除く。
　(「どの2つの数字の和も10にならないような数」をクリアする。)

①百の位から決めていくとして、百の位になりうるのは1~9の9通り。
　十の位は百の位と異なる数字でなくてはならないから、
　1~9のうち百の位で選んだ数を除いた8通り＋0の9通り。
　一の位は百の位、十の位と異なる数字でなくてはならないから、
　0~9のうちまだ選ばれていない8通り。
　したがって、9×9×8=648(通り)

② ①のなかで2つの数を足して10になる1桁の正の整数の組み合わせを考えると、(1と9),(2と8),(3と7),(4と6)の4通りが存在する。
つまり、
百の位に1を選んだとき、十の位に9が来て、なおかつ3つの数が異なる組み合わせは8通り。(190,192,193,194,195,196,197,198)
さらに、
百の位に1を選んだとき、一の位に9が来て、なおかつ3つの数が異なる組み合わせは8通り。(109,129,139,149,159,169,179,189)
同様に、
百の位に9を選んだとき、十の位に1が来て、なおかつ3つの数が異なる組み合わせは8通り。(910,912,913,914,915,916,917,918)
百の位に9を選んだとき、一の位に1が来て、なおかつ3つの数が異なる組み合わせは8通り。(901,921,931,941,951,961,971,981)
十の位と一の位が1と9の組み合わせになり、なおかつ3つの数が異なる組み合わせは14通り。(219,319,419,519,619,719,819,291,391,491,591,691,791,891)

以上、8＋8＋8＋8＋14=46(通り)が(2と8),(3と7),(4と6)についても同様に除かれる必要があるため、46×4=184(通り)が条件に合わないと考えられる。

したがって、求める数は
648-184=464(通り)

ではないかと思います。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/02/13 20:43

100から999までの整数を百の位の数字で場合分けして考えます。

[1] 百の位の数字が１の場合
十と一の位の数字は、百の位の数字と異なるので1は使えません。
また、百の位の数字との和が10にならないようにするので９も使えません。
そこで、とりあえず、残りの 0,2,3,4,5,6,7,8 の８個の数字から２個を選びます。
十の位の数字の選び方は８通り、一の位の数字は十の位の数字以外の７通りなので、
８×７＝56（通り）の組合せが考えられます。
この56通りの中で十の位の数字と一の位の数字の和が10になるのは、
28 , 82 , 37 , 73 , 46 ,64　の６通りなので、これは除きます。
よって、条件を満たす整数の個数は
56－６＝50（個）

百の位の数字が２以上の場合も同様に求まりますが、５の場合は例外です。

[2] 百の位の数字が５の場合
十と一の位の数字は、[1] と同様に考えると使えないのは５だけです。
そこで、とりあえず、残りの 0,1,2,3,4,6,7,8,9 の９個の数字から2個を選びます。
十の位の数字の選び方は９通り、一の位の数字は十の位の数字以外の８通りなので、
９×８＝72（通り）の組合せが考えられます。
この72通りの中で十の位の数字と一の位の数字の和が10になるのは、
19 , 91 , 28 , 82 , 37 , 73 , 46 ,64　の８通りなので、これは除きます。
よって、条件を満たす整数の個数は
72－８＝64（個）

[1] , [2] より、求める整数の個数は、
50×８+64＝464（個）