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10進法って最小ですか?

つまり……、
nとa_k(k=0,1,2,…n)が0以上の整数のとき
Σ[k=0→n] a_k 10^k
の各桁の和はΣ[k=0→n] a_k以下ですか?


理由もお願いします。

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A 回答 (8件)

0以上の整数aに対し各桁の和をd(a)で表す。


例えばd(567)=5+6+7=18
dは次の性質が成り立つ。
ただしa,b,kは0以上の整数
①d(a+b)≦d(a)+d(b)
②d(a*10^k)=d(a)
③d(a)≦a

上記の性質の成立理由
①d(a+b)とd(a)+d(b)の違いはaとbを足した時に繰り上がりがあるかどうかで異なる。繰り上がりがなければ明らかにd(a+b)=d(a)+d(b)
 
ある桁で繰り上がりがある場合、その桁は10が0になるので10減り、次の桁は1増えるので各桁の和としては9減ることになる。
繰り上がりが1回の例
d(12+39)=d(51)=6
d(12)+d(39)=1+2+3+9=15
6-15=-9

繰り上がりが複数回あれば繰り上がりの回数×9だけ各桁の和が減る
繰り上がりが2回の例
d(12+99)=d(111)=3
d(12)+d(99)=3+18=21
3-21=-18=-2*9

どのような場合であっても d(a+b)≦d(a)+d(b)が成立

②10^k倍しても0がk個追加されるだけなので各桁の和は不変
③例えばd(123)=1+2+3 < 1*10^2+2*10+3=123と考えればよい。

以上より
d(Σ[k=0→n]a_k*10^k)
≦Σ[k=0→n]d(a_k*10^k)(∵①)
=Σ[k=0→n]d(a_k)    (∵②)
≦Σ[k=0→n]a_k     (∵③)

したがって各桁の和 d(Σ[k=0→n]a_k*10^k)はΣ[k=0→n]a_k以下といえる。
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この回答へのお礼

解決しました

ありがとうございました。
とてもよく理解できました。

ヘボい回答しかつかないので困っていたところへまさかこんなスマートな回答をいただけて、感動しました。

お礼日時:2022/04/02 18:22

最低の質問です

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この回答へのお礼

・・・。

八つ当たりはやめて下さい。
みっともないですよ。

お礼日時:2022/04/09 20:11

「10進法って最小ですか?」どういう意味ですか?回答者にはさっぱり意味が分からない質問になっていますよ。

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この回答へのお礼

どう思う?

その意味を"つまり"以降で説明しています。

あなたが読んでいないか、読んでも理解出来る頭がなかったかのどちらかだと思いますよ。

お礼日時:2022/04/02 18:08

質問文を少し工夫してみたら?

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この回答へのお礼

・・・。

読み間違いをしないよう少しは気を付けたら?

お礼日時:2022/03/31 22:41

0≦a_k≦a_k , 1≦10^k≦10^k


より、0≦a_k≦a_k10^k
よって、
0≦Σ[k=0→n] a_k ≦Σ[k=0→n] a_k10^k
よって
Σ[k=0→n] a_k ≦Σ[k=0→n] a_k10^k
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この回答へのお礼

ムッ

下の回答者の指摘をよく読んだ方がいいでしょうね。

お礼日時:2022/03/31 12:17

もしかしてだけど。


a_k <10 って書いてないから、

a_k = 10, 9
Σ[k=0→n] (a_k・10^k) = 10 + 90 = 100
各桁の和は 1+0+0 = 1
Σ[k=0→n] a_k = 10 + 9 = 19

よって 各桁の和 1 は Σ[k=0→n] a_k =19 以下


って話かな
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Σ[k=0→n] a_k 10^k の各桁の和は、


Σ[k=0→n] a_k 以下っていうか
Σ[k=0→n] a_k そのものです。
まあ、以下って言っても正解ではあるけど。
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この回答へのお礼

プンプン

上の回答者の指摘をよく読んだ方がいいでしょうね。

お礼日時:2022/03/30 08:35

Σ[k=0→n] a_kが各桁の和であるように思いますが、、、

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この回答へのお礼

ムッ

違います。
早とちり。

お礼日時:2022/03/29 12:36

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