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以下の式を満たす自然数abcの組を全て求めよ。
(1) 7a^2+7b^2+17c^2=2023
(2) 20a^2+2b^2+3c^2=2023

どちらも解答がないので私の解いたものになってしまうのですが,
(1)  17c^2が7の倍数だからc=7 あとは3,4を法として a^2+b^2=170 を考えて答えは
(1,13,7)(12,1,7)(11,7,7)(7,11,7)と解きましたがほかに解答やきれいな解法はないでしょうか?

(2) 皆目見当がつかず,aとbが3の倍数でない,bは偶数,cは奇数くらいしか決められないのですが,なにか手立てはあるでしょうか?

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A 回答 (7件)

No.6のつづき


a^2=1 のとき方程式は2b^2+3c^2=2003、b^2≧4なので
c^2は1、9、25、49、81、121、169、225、289、361、441、529、625
が第一候補。
mod10で考えると上の方程式より
2b^2+3c^2≡3、mod10での平方剰余は0、1、4、5、6、9
b^2は偶数なのでb^2≡0、4、6として上の合同式に代入して
c^2がとりうる奇数の平方剰余はc^2≡1、5
したがってc^2=10m+1か10m+5これから
c^2は1、25、81、121、225、361、441、625がc^2第二候補
つぎにmod7で考える。
もとの方程式からの合同式は 2b^2+3c^2≡1、
mod7での平方剰余は0、1、2、4 なのでb^2≡0、1、2、4として
c^2≡0、2 と出る、つまりc^2=7m、7m+2 これで第二候補を
ふるいにかけると最終c^2=121、441、625としぼられる。
あとはこの3つについてb^2が平方数になるようなbを求めると
c^2=625のときb^2=64=8の2乗、ともとまる。

a^2=25のときはもとの方程式は2b^2+3c^2=1523
これもmod10、およびmod7でc^2をふるいにかけて
c^2を1、225、441と候補をしぼって
c^2=441のときb^2=100=10^2 となります。

a^2=49のときはもとの方程式は
2b^2+3c^2=1043
これを今度はmod10 とmod11でふるいにかけて
c^2=1、81、25としぼれます。
c^2=81、25のときb^2は平方数400、484になる。
答は(a、b、c)=(1、8、25)(5、10、21)
           (7、20、9)(7、22、5)です。
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(2)の問題


b≧2、c≧1 なので
a^2は 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100のどれかになる。
aが3の倍数でないからさらに
a^2は1、4、16、25、49、64、100 にしぼられる。
さてmod8で考えると問題の式から
4a^2+2b^2+3c^2≡7 mod8での平方剰余は0、1、4 で
b^2は偶数だからb^2≡0か4、c^2は奇数だから≡1 になり
上の合同式に代入して
4a^2≡4、a^2≡1(mod8) つまりa^2は奇数になる。
したがって4a^2は 1、25、49のどれかとなる。
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(2)


20a^2+2b^2+3c^2=2023…(2.1)

3c^2=2(1011-10a^2+b^2)+1
だから
cは奇数

だから
c=2C-1となる自然数Cがある
↓これを(2.1)に代入すると
20a^2+2b^2+3(2C-1)^2=2023
10a^2+b^2+6C(C-1)=1010…(2.2)
b^2=2{505-5a^2-3C(C-1)}
だから
bは偶数

だから
b=2Bとなる自然数Bがある
↓これを(2.2)に代入すると
10a^2+(2B)^2+6C(C-1)=1010
5a^2+2B^2+3C(C-1)=505…(2.3)
5a^2=2{252-B^2-3C(C-1)/2}+1
だから
aは奇数

(2.3)から
5a^2+2B^2=3{168-C(C-1)}+1
a^2+B^2=2mod3
だから
a^2=B^2=1mod3
だから
aとbは3の倍数でない

aは3の倍数でない奇数だから
a=±1mod6

(2.3)から
2B^2+3C(C-1)=505-5a^2
2≦2B^2+3C(C-1)=505-5a^2
2≦505-5a^2
5a^2≦503
a^2≦100.6
a<√100.6<11
だから
a=1.or.5.or.7

(2.3)から
2B^2+3C(C-1)=505-5a^2
2{B^2-C(C-1)}=5{101-a^2-C(C-1)}
だから
B^2=C(C-1)mod5

C=0mod5→C(C-1)=0mod5
C=1mod5→C(C-1)=0mod5
C=2mod5→C(C-1)=2mod5
C=3mod5→C(C-1)=1mod5
C=4mod5→C(C-1)=2mod5
B=0mod5→B^2=0mod5
B=1mod5→B^2=1mod5
B=2mod5→B^2=4mod5
B=3mod5→B^2=4mod5
B=4mod5→B^2=1mod5
だから
[{B^2=0=C(C-1)}.or.{B^2=1=C(C-1)}]mod5
だから

(B=0mod5).or.(C=3mod5)

0≦3C(C-1)=5(101-a^2)-2B^2
0≦5(101-a^2)-2B^2
2B^2≦5(101-a^2)≦500
B^2≦250
B≦5√10<16
B≦15
B=0mod5の時
B=5.or.10

2≦2B^2=5(101-a^2)-3C(C-1)
2≦5(101-a^2)-3C(C-1)
3C(C-1)≦5(101-a^2)-2
3C(C-1)≦498
C(C-1)≦166
(C-1/2)^2≦166.25
C-1/2≦√166.25
C≦(√166.25)+0.5<14
C≦13
C=3mod5の時
C=3.or.8.or.13

a=1,B=5 の時c^2=(2023-220)/3=601となる整数cは無いから不適
a=1,B=10 の時c^2=(2023-820)/3=401となる整数cは無いから不適
a=1,C=3 の時B^2=(500-18)/2=241となる整数Bは無いから不適
a=1,C=8 の時B^2=(500-3*8*7)/2=166となる整数Bは無いから不適

a=1,C=13 の時
B^2=(500-3*13*12)/2=16
B=4
a=1
b=8
c=2*13-1=25

(a,b,c)=(1,8,25)

a=5,B=5 の時
b=10
c^2=(2023-700)/3=441
c=21

(a,b,c)=(5,10,21)

a=5,B=10 の時c^2=(1523-800)/3=241となる整数cは無いから不適
a=5,C=3 の時B^2=(430-18)/2=206となる整数Bは無いから不適
a=5,C=8 の時B^2=(430-3*8*7)/2=131となる整数Bは無いから不適
a=5,C=13 の時2B^2=430-3*13*12<0となる整数Bは無いから不適
a=7,B=5 の時c^2=(1043-8*5*5)/3=281となる整数cは無いから不適

a=7,B=10 の時
c^2=(1043-800)/3=81
c=9
b=20

(a,b,c)=(7,20,9)

a=7,C=3 の時
B^2=(260-3*3*2)/2=121
B=11
b=22
c=2C-1=5

(a,b,c)=(7,22,5)

a=7,C=8 の時B^2=(260-3*8*7)/2=46となる整数Bは無いから不適
a=7,C=13 の時2B^2=260-3*13*12<0となる整数Bは無いから不適
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No.3 ではまだ、A が小さいときの C の皇甫嵩が多すぎる。


もうちょっとマシな答案にしてみよう。

(2)
20a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 2023. ←[0]

これを mod 4 へ移すと、 2b^2 + 3c^2 ≡ 3 (mod 4). ←[1]
下記の mod 4 での 2乗の表により、
  n  n^2
  0  0
  1  1
  2  0
  3  1
[1] の解は b^2 ≡ 0, c^2 ≡ 1 (mod 4) に限られる。
b = 2B, c = 2C-1 (B,Cは自然数) と置いて、
[0] は 5a^2 + 2B^2 + 3C(C-1) = 505 ←[2] と変形できる。

[2] を更に mod 4 へ移すと、 a^2 + 2B^2 + 3C(C-1) ≡ 1 (mdo 4). ←[3]
下記の mod 4 での関数表により、
  n  n^2 2n^2 3n(n-1)
  0  0  0   0
  1  1  2   0
  2  0  0   2
  3  1  2   2
[3] の解は a^2 ≡ 1, 2B^2 + 3C(C-1) ≡ 0 (mod 4) に限られる。
a = 2A-1 と置いて、
[2] は 20A(A-1) + 2B^2 + 3C(C-1) = 500 ←[4] と変形できる。

[4] を mod 5 へ移すと、 B^2 ≡ C(C-1) (mod 5). ←[5]
下記の mod 5 での関数表により、
  n  n^2 n(n-1)
  0  0  0 
  1  1  0 
  2  4  2 
  3  4  1 
  4  1  2
[5] の解は B^2 ≡ C(C-1) ≡ 1 (mod 5) に限られる。
C ≡ 3 (mod 5) と判る。 ←[6]

[4] 左辺の各項が ≧0 であることから、
20A(A-1) ≦ 500 より A ≦ 5,
A の候補は、 A = 1,2,3,4,5.
3C(C-1) ≦ 500 より C ≦ 13.
この範囲で [6] を満たす候補は、 C = 3,8,13.
(A,C) の候補が 5×3 個あることになるが、
これを [4] へ代入して自然数 B がある組を見つければ、
[4] の解 A,B,C、翻訳して [0] の解 a,b,c も全て見つかることになる。
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(2)


(1) と同様に mod 4 で考えれば、 b は偶数、c は奇数 であることが判る。
b = 2B, c = 2C-1 を代入すれば、 5a^2 + 2B^2 + 3C(C-1) = 505.
ここでもう一度 mod 4 で考えれば、 a は奇数であることも判る。
a = 2A-1 も代入すれば、20A(A-1) + 2B^2 + 3C(C-1) = 500.
左辺の各項が ≧0 であることから A ≦ 5 であることが判り、
A = 1,2,3,4,5 で場合分けして、その後 (1) の [3] と同様に処理すれば
現実的な計算量で答えが決まる。
しらみつぶしは整数問題の王道だが、候補をある程度絞り込んでから
でないと、PC無しでは答えまでたどり着けなくなる。
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見当も何も a,b,cの可能性は有限個しかないのだから、片っ端から調べればいいだけ。



(1)のcの候補は1-10の10通り(√(2023/17)=√119<√121=11)だから、それぞれ代入すればa,bだけになる。
代入すれば、7a^2+7b^2=x という形になり、a,bは√(x/7)までの整数なのだから、全部調べれば答がわかる。
(1)では 2023が7の倍数だから近道があるが、この考え方は正の数の和であれば、どんな場合でも使える万能なもの。

(2)の場合、aの候補は1-10なので、aを1から10まで順に調べていけば答がでる。
例えば、a=1なら、cは1-25を調べればよい。面倒だが機械的な作業であり頭を使う必要はない。
cが奇数なのに気づけば、少しは手間が省ける。他にもいろいろ考えれば手間を減らせるかもしれないが、この程度なら、考えている暇に計算してしまった方が早いことが多い。
電卓を使うか、プログラムが書けるなら計算機にやらせれば時間もかからない。

最終的な答は(a,b,c)=(1,8,25),(5,10,21),(7,22,5),(7,20,9)
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(1)


17c^2が7の倍数だから c = 7k ←!
代入して a^2 + b^2 + 119k^2 = 289.
a^2 ≧ 0, b^2 ≧ 0 より k^2 ≦ 289/119 で、
これを満たす自然数は k = 1.
これを代入して、a^2 + b^2 = 170. ←[2]

a^2 + b^2 ≡ 2 (mod 4) となるから、
以下の mod 4 での2乗表
 n n^2
 0 0
 1 1
 2 0
 3 1
より、 a, b は奇数。
a = 2A-1, b = 2B-1 と置くと、[2] は
A(A-1) + B(B-1) = 42. ←[3] と変形される。

A(A-1) ≧ 0, B(B-1) ≧ 0 より、
以下の n(n-1) の値の表より
 n n(n-1)
 1 0
 2 2
 3 6
 4 12
 5 20
 6 30
 7 42 ←42以上となった
[3] の解は
(A(A-1),B(B-1)) = (0,42), (42,0), (12,30), (30,12).

以上を (a,b,c) の値に翻訳すれば完了。A(A-1) + B(B-1)
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