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万有引力と重力の位置エネルギーについて

例えば、地球の表面から真上に質量mの球を初速v₀で投げた時の地表からの最大の高さhを求めよ、(万有引力定数G、地球の質量M、地球の半径R)という問題があるとします。

この場合、普通は運動エネルギーと重力による位置エネルギーを考えた力学的エネルギー保存則を用いますが、ここで重力による位置エネルギーの代わりに、万有引力による位置エネルギーを使っても解けますか?

万有引力は、非常に大きな物体間(天体など)になってようやく影響が現れるものですが、重力の根本は万有引力であり、位置エネルギーよりむしろ万有引力の方が高さによる誤差(gは地球からの距離により変化するため)が小さくて良いのではないかと思うのですが、なぜ重力による位置エネルギーをわざわざ使っているんですか?

僕が勘違いしてたら厳しく指摘していただきたいです

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A 回答 (7件)

面白いポイントに着目していると思います。



物理学の最初に習う重力加速度 g は、高さがどこであっても一定である事を前提にしていますね。これは、ある種の近似です。

一方で万有引力の場合は、物体間の距離に応じて力の大きさが変わります。だから、万有引力を使う方が精度が高いという貴方の考えは、良いポイントを突いていると思います。

実際、トムとジェリーと呼ばれている人工衛星は、衛星と地表との距離に応じて衛星の速度が変わる結果、2機の衛星間の距離が変わる事を利用して、地表の凹凸を精密に計測しています。これは、高さが変わっても一定であるという重力加速度ではなくて、高さに応じて力が変わる万有引力だから、できる事ですね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/GRACE_(%E4%BA%BA%E …

なぜ重力による位置エネルギーを使うかというと、先ずは現実世界の本質的なシンプルな事だけを考えて、少しずつ複雑な現象へと適用範囲を拡げていくのが物理学のアプローチだからです。F = m a なんて成り立つわけないけれども、それが最もシンプルな本質です。どこもかしこも g なんて成り立つわけないけれども、それが最もシンプルな近似です。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!1番質問に正確に回答して下さったので選ばさせて頂きました!

お礼日時:2022/04/19 07:32

先の回答を一部訂正。



先ほど「地球の半径r」と言った表現をしましたが、より正確には地球の半径をR、地球の質量をM、物体の地表からの高さをhとした場合、質量mの物体に働く重力は

GMm/(R+h)^2

となります。そして分母を

(R+h)^2

={R(1+h/R)}^2

と変形すれば、Rに比べてhがそれほど大きくない場合は

R+h≒R(∴gは一定)

として差し支えない事が分かるでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます!

お礼日時:2022/04/19 07:29

恐らくですが質問者様の認識は



重力:mg

万有引力:GMm/r^2

と言うものではないかと思われます。前述のように言葉の意味から言えば「万有引力=重力」ですから、mgと言う表記は「高さによって重力の大きさが変わらない」と言う近似に他なりません。実際両者をイコールとおいて比べてみれば、地球の半径rに比べて高さがそれほど大きくないうちは「重力は高さによらない」と言う近似がよく成り立っている事が分かるはずです。
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重力は天体表面付近における万有引力の近似です


近似値を使う分、あなたの設問の最大高度導出の計算は楽になります
ただし、地表面付近の近似値ですから、ある程度以上の高度まで上がる場合は重力で考えてはいけません

また、確かに万有引力で計算のほうが正確なはずです
ただ、最大高度が1メートルナドナドの場合は、万有引力はほぼ変わらないとみなせますから、重力で計算しても、万有引力で計算しても
その差は微差になるはずです
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体重計に乗る時、埃まで気にする必要はないでしょう。

それと同じようなものだと思われます。
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重力による位置エネルギーはmghなどと書きますが、これは既に他の回答で書かれているように「万有引力による位置エネルギー」です。

そもそも物理学においては「重力」と「万有引力」は同じ意味で用いています。例えば自然界における力は現在では「強い力」「電磁力」「弱い力」「重力」の四種類とされていますが、これを見ても「重力と万有引力は同じ意味」と言うのが分かると思います。

ちなみに地学の方では重力を「万有引力と遠心力との合力」としているので、こちらの意味では「重力=万有引力」とはならない事になります。
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この回答へのお礼

追加情報ありがとうこざいます!

お礼日時:2022/04/19 07:31

>ここで重力による位置エネルギーの代わりに、万有引力による位置エネルギーを使っても解けますか?



「重力による位置エネルギー」とは、「地球との万有引力による位置エネルギー」のことですよ?
両方は同じものです。

「万有引力の大きさ」は物体間の距離によって変わりますが、地球表面近くでの「高さ」は地球の半径に比べるとヒジョ~~に小さいので、力の大きさを一定と考えて「高さだけの位置エネルギー」として考えているのです。

重力の大きさ
 F = mg    ①
と、地球半径 R における万有引力
 F = GMm/R^2   ②
が同じものですから、「重力加速度」が
 g = GM/R^2
というだけのことです。

位置エネルギーは「重力(あるいは万有引力)に逆らって変位:h だけ移動するための仕事」であり、「力の大きさ」と「変位:h」の積です。
つまり
 E = Fh = mgh = [GMm/R^2]h
です。
R >> h なので、h だけ変位しても万有引力は①のまま変わらないと考えているのです。
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