ベクトル 角度

学校の宿題です。
途中までは解けたのですが、最後の解き方がわかりません。余弦定理を使ってみましたが、正答がでませんでした。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 空間内に3点
  a: 2,0,0
  b: 0,2,0
  c: t,t,tが存在する。
  Δabcの面積をStとおく。
  
  (2)Stはt=2/3 の時Min.(2√3)/3
  また、このときの角acb=???°である

    補足日時：2022/04/23 18:55

• →caを4/3,-2/3,2/3
  とし、
  →cbを-2/3, 4/3,-2/3
  となり。
  →caと→cbの絶対値が(2√3)/3
  です。
  これとaとbの距離4を使い
  COSc=の形で余弦定理に代入し、
  結果、-5となり
  有名角とならず、という状態です。
  表記、下手ですみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 19:18

• すみません、ベクトルの成分、打ち間違えました。
  すぐに訂正します

    補足日時：2022/04/23 19:31

• ただしくは、
  →caを4/3,-2/3,-2/3
  とし、
  →cbを-2/3, 4/3,-2/3
  です

    補足日時：2022/04/23 19:33

• 内積ですか！
  そのやり方は理解できました。
  ありがとうございます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 20:32

• 面積公式からSinを求めてから、Cosへの変換ということでよろしいですか？
  
  ちなみに、再計算したところ、ベクトルの絶対値とab間の距離を計算間違いしていました。
  結果的に正解が求まりました。
  もしよろしければ、計算ミスを防ぐコツも教えてほしいです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 20:59

• ということは、面積公式からのsinを求めただけでは、cosを一つに確定できないということでしょうか？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 21:43

• ありがとうございました。
  明日模試があるので、実践したいです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 21:59

No.6 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/23 21:55

計算ミスを防ぐコツ

→出来るだけシンプルな解法を採用すること
→計算力を鍛えておくこと（例えば毎朝種々の計算問題を一定量ドリルのようにこなすなど）
などなどです
もっと言えば、普段から頭をさえわたった状態にしておくことも大切です
そのためには、日ごろから落ち着いて、前向きな気持ちで
明るい気持ちで、・・・生活していることが必要です
心配性だったり、悲観やだったり、怒りっぽい
なんていう人はどうしても脳みそがショートして100%のパフォーマンスがでません

あと、見直しです
その際別の計算手法、別解法を採用するとミスに気が付きやすいはずです
参考例　3x7=22としてしまった場合
見直しでは　22÷7をやってみる→余りが出てミスに気付く

次に、貴方の出した答えがあってるなら
公式　S=(1/2)xCAxCBxsinC　に
分かった値を代入で
2√3/3=(1/2)x{√(4+16+4)/√3²}²sinC
その際　CAなどは私は今回暗算でした
ベクトルの成分の分母がそろっているんで
分子の2乗の和をさらっと出しておいてルートにかける
分母は3²のルート
と言う具合です
CBも同じですよね
⇔2√3/3=(1/2)x{24/9}sinC ←←←2乗があるんで√24=2√6なんていう
　　　　　　　　　　　　　　　　　無駄な変換はしないでおいて
　　　　　　　　　　　　　　　√24の2乗は単純にルートだけを外して
　　　　　　　　　　　　　　　　　=24とします
　　　　　　　　　　　　　　　　細かいけども、計算の手数を省くことも
　　　　　　　　　　　　　　　　計算ミス防止のコツです
⇔(2√3x2x9)/(3x24)=sinC
⇔sinC=(√3x9)/(3x6)=√3x3/6=√3/2
C=60°または120°
CA=CBなんで　この三角形は2等辺三角形もしくは正三角
AB＝２√2は計算なし
もしくは暗算ででるので正三角（C=60）ではない
c=120°
となりました・・・・

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/23 21:40

三角形の内角は鈍角もあり得るので、

sinθを求めてもθは決められませんよ？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/23 20:39

S(t) が最小になるのは t = 2/3 のときで、

このとき、→CA = (4/3,-2/3,-2/3), →CB = (-2/3,4/3,-2/3).
...までは合ってますよ。
その後、内積 (→CA)・(→CB) の計算に持ち込まずに
余弦定理を使った方針も正しい。

後は、cos∠ACB の値を間違えずに求めるだけじゃない？
△ABC を相似拡大して →CA’ = (2,-1,-1), →CB’ = (-1,2,-1) の
∠A’CB’ を求めても ∠A’CB’ = ∠ACB になっている。
ベクトルの長さが CA’ = CB’ = √6, A’B’ = √6 だから、
実は余弦定理を持ち出すまでもなく、 ∠ACB は有名角中の有名角だけども。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/23 20:39

あとは、面積が出てるんだから

面積公式利用もありです

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/23 20:26

手前までの答えは確認してないけど

貴方を信頼するとして
最後は内積利用が一策です
内積をベクトルの長さと角度で表して、また、同じ内積をベクトルの成分でも表すのです
それらを＝で結んで
方程式を解きます

余弦定理でもできるはずです

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/23 19:03

その「余弦定理を使ってみましたが、正答がでませんでした」のところ, 具体的にはどのようにやってどんな結果になった?