この問題の解き方を教えてください

この問題の解き方を教えてください

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/20 18:52

初項と公比が同じ等比数列なら、 a_k = r^k (kは定数) と書けます。

√(r^k), k=1...15 が定義できることから、 r > 0 です。

問題の条件は、
2 = Σ[k=1...15] 1/{ √(a_k) + √(a_(k+1)) }
　= Σ[k=1...15] 1/{ √(r^k) + √(r^(k+1)) }
　= { 1/(1 + √r) }・Σ[k=1...15] (1/√r)^k
　= { 1/(1 + √r) }・{ Σ[k=14...0] (√r)^k }/(√r)^15.
　= { Σ[k=14...0] (√r)^k }/{ (1 + √r)(√r)^15 }.

x = √r と置いて変形すると、
0 = 2{ (1 + √r)(√r)^15 } - { Σ[k=14...0] (√r)^k }
　= 2(1 + x)x^15 - Σ[k=14...0] x^k
　= 2x^16 + 2x^15 - (x^14 + x^13 + x^12 + ... + x + 1).

この方程式は -2 < x < -1 と 1 < x < 2 の範囲にそれぞれ1個づつ
の実数解を持ち、正のほうの解が √r になります。
それを求めて a_4 = r^4 = x^8 の値を求めればよいのですが、
厳密な値を求めることは不可能ではないかと思います。

近似解を求めるなら、ニュートン法かなあ...
x ≒ 1.213,
a_4 ≒ 4.702
とかになりますね。