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【問題】
△ABCにおいて、AB=7、AC=5、∠A=60°とする。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、
ADの長さを求めよ。
【解答】
35√3/12
らしいのですがよく分かりません。
解き方と解説をお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

△ABDで余弦定理 BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB・ACcos60°,


△ABDで余弦定理 BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB・ADcos30°,
△ACDで余弦定理 DC^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC・ADcos30°,
あと BC = BD + DC, AB = 7, AC = 5.
線分が 6個出てきて式が 6本だから、方程式の数は足りてる。

BC = BD + DC から
BD = BC/2 + x, DC = BC/2 - x と置くと、
BC^2 = 49 + 25 - 35 = 39 より
(√39/2 + x)^2 = 49 + AD^2 - (7√3)AD ←[1]
(√39/2 - x)^2 = 25 + AD^2 - (5√3)AD ←[2]

([1]+[2])/2より 39/4 + x^2 = 37 + AD^2 - (6√3)AD ←[3]
([1]-[2])/2より (√39)x = 12 - (√3)AD ←[4]
[4]を代入して[3]から x を消せば、
48AD^2 - (280√3)AD + 1225 = 0.
これを解いて、AD = (35/12)√3 (重根).
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角の二等分線の定理から
(7+5)AD=2・7・5・cos60/2=70・√3 /2 ∴ √3・70/(2・12)=(35/12)・√3
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なるべく難しい公式を使わず、単純に。

「【問題】 △ABCにおいて、AB=7、A」の回答画像3
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角の二等分線なのだから


BD:DC = 7:5
つまり
ADベクトル = 5/12 ABベクトル + 7/12 ACベクトル

ベクトルと書くの面倒だし見難いので以後省略

AB・AC = 7x5xcos60° = 35/2

|AD|²=(5/12 AB + 7/12 AC)²
=25/144 |AB|²+70/144 AB・AC+49/144 |AC|²
=1/144 (25x49+35x35+49x25)
=25x49x3/144

よって
|AD| = 5x7x√3/12 = 35√3/12
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