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31^10を900で割ったときの余りを求めよ。 A. 301

この解き方は公式があるのでしょうか?
解説できる方お願いします!

gooドクター

A 回答 (6件)

a=30とすると、31=a+1、31^10=(a+1)^10です。


ここで、a^2=900は900で割り切れますので、(a+1)^10を展開してa^2より次数の高い項は900で割り切れて消去できることになります。つまり1次と0次の項が余りとして残ります。
1次の定数はべき乗と同じ10、0次の定数は1なので、
10*30+1=301、これは900で割り切れないので301が解。
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうました!

お礼日時:2018/01/19 17:57

そうですね!公式ですね!二項定理です!31=30+1 で気づくかどうか でしょうか!?


つまり、
31^10=(30+1)^10=Σ 0…10 10Cr・1^r・30^(10-r) ですね!
=10C 10・30^(10-10)+10C1・30^(10-9)+Σ 2…10 10C r・30^(10-r)
=1・1+10・30+900・k とおけるから
≡ 301 (mod 900)
よって、900で割った時の余りは、 301 である!
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2018/01/19 17:58

間違ってたらすみませんが、この問題って公務員の問題ですよね?


でしたら5択の解答があると思います。
私なら択をみて一の位が1である解答が1つしかない場合はそれに即決します。
なぜなら、31をどれだけ掛けようが一の位は1であることに変わりはないからです。
どんなに数字が大きくなっても一の位が1なのであれば900で割った時の余りの一の位も必ず1になるからです。
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この回答へのお礼

なるほど!賢い考え方ですね!

お礼日時:2018/01/19 17:59

何となく思い出しました。


31を900で割ると余りは31ですよね?
31×31ということは余りも31倍してその余りの数が900で割れる時は割ります。その時の余りが31×31を900で割ったときの余りとなります。

例えば、
31÷900=0余り31

これ以降はずっと31を掛けていくだけなので、余りも31倍ずつ増やしていき、900で割れるときは割ります。
31×31=961 これは900で割れるので割ります。
961÷900=1余り61

次も同じような感じです。
61×31=1891 これは900で割れるので割ります。
1891÷900=2余り91

割られる数をある数で掛ける時、余りにもある数を掛けます。
その数が割る数で割れるときは割ります。
そのあとに出てきた数が本来の余りの数となります。

簡単な数字で試してみてください。
5の10剰を3で割ったときの余りの時も同じです。
5÷3=1余り2
次も5を掛けるので余りにも5を掛けます。
2×5=10
10÷3=余り1(これは5×5を3で割ったときの余りと同じ)

これを繰り返していけばいいだけだと思います。
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この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました!

お礼日時:2018/01/19 18:00

剰余の問題のようですが公式を忘れてしまいました。


しかしこの手の問題は規則性があることが多いです。
31を900で割ると余りは31
31×31を900で割ると余りは61
31×31×31を900で割ると余りは91

どうやら余りは30ずつ増えているようです。

31,61,91,121,151,181,211,241,271,301

という順に増えていくという規則性があります。
何でもかんでも公式に頼る必要はないと思いますよ。
この問題は剰余の問題だと思いますので、公式を調べるのであれば剰余の公式を調べて見てください。
確かmodみたいな奴です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2018/01/19 18:03

なんでもかんでも「公式」があると思っているのかな?

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この回答へのお礼

何でもかんでも公式があるとは思っていないです! もしかしたらあるのかな?という思いで聞かせて頂きました!

お礼日時:2018/01/19 18:02

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