数学

３点A(-4,4)B(3,3)C(-1,5)から等距離にある点Pの座標の求め方を教えて下さい。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/04 22:16

解法1(ベクトルでとく)

ABの中点=(A+B)/2=(-1/2、7/2)
ベクトルAB=(7、-1)だから、ABの方線ベクトルは(1、7)
従ってABの垂直2等分線は媒介変数tを使って
(-1/2, 7/2) + t(1, 7) ①

同様に、BCの中点は (B+C)/2=(1, 4)
ベクトルBC=(-4, 2) だからBCの方線ベクトルは (2, 4)
従ってBCの垂直2等分線は媒介変数sを使って
(1, 4) + s(2, 4) ②

従って2つの垂直2等分線の交点(外心)の方程式は ①=②だから

(-1/2, 7/2) + t(1, 7)=(1, 4) + s(2, 4)

成分にばらすと
-1/2 + t = 1 + 2s
7/2 + 7t = 4 + 4s

→ t=-1/2 、s=-1

①にtを代入して(或いは②にsを代入して)
P=(-1, 0)


解法2(直線の方程式でとく)
垂直2等分線をて、点から等しい点の集合とすれば
ABの垂直2等分線は
(x+4)²+(y-4)²=(x-3)²+(y-3)²
8x+16-8y+16=-6x+9-6y+9
14x-2y=-14 ③

BCの垂直2等分線は
(x-3)²+(y-3)²=(x+1)²+(y-5)²
-6x+9-6y+9=2x+1-10y+25
-8x+4y=8 ④

③、④を連立すると
x=-1、y=0

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/04 19:17

その3点を グラフ上に 書いてみて下さい。

3点から 等距離にある点 とはどんな点になるでしょうか。
3点 A, B, C は 同一円周上にある と云う事が分かると思います。
つまり △ABC の外心が 求める点の位置です。
三角形の外心の 求め方は 習った筈ですが。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/05/04 16:43

逆に考えるんだ。

点Pを中心とした円周の上に点A、点B、点Cがあるんだ。

円の中心の求め方は分かるよね。
分からないなら「円の中心の求めかた」について納得するまで調べれば良い。

自分でできることをやれば、それが自分の知識となります。
他人から聞かされたことを知識とすることができるならそれはそれでよいのですが、
考えることをしていないと知識にはなりません。
「分からないから誰かに代わりにやってもらおう」
と常に考えていると、そのうち誰からも助けてもらえなくなります。
そうなると「自力で解決できない」「助けてくれる人もいない」という手詰まりになりますから注意しましょうね。
ちなみにそういう状況ってのは、切羽詰まった時に訪れるものです。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/04 16:18

たとえば線分AB、BCそれぞれの垂直二等分線の

交点を求める。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/04 16:13

3点A(3,5)、B(2,-2)、C(-6,2)から等距離にある点の座標をP(a,b)とすると

PA=PB=PC
3平方の定理を使って
PA=√{(-4-a)²+(4-b)²}
PB=√{(3-a)²+(3-b)²}
PC=√{(-1-a)²+(5-b)²}

PA=PBの式の両辺を2乗してa,bの式を作り
PA=PCの式の両辺を2乗してa,bの式を作り

これを連立させてa,bを求める。

2乗しらり、連立方程式を解くのは、自分でや～れ